Chapitre VII - Exercices corriges

Chapitre VII. Hydraulique souterraine :
Lois de Bernoulli et Darcy. Perméamètres et perméabilité équivalente.

Ce chapitre comporte 6 exercices

I. Loi de BERNOULLI et charge (potentiel) hydraulique

1.1 Charge (potentiel) hydraulique

La charge hydraulique en un point est égal à la somme de la pression en
ce point (par exemple, liée à la hauteur d'eau au dessus de ce point) et de
l'énergie potentielle liée à l'altitude de ce point :
?.g.h + ?.g.z
C'est l'énergie totale mécanique en ce point.
L'eau se meut des points de haute énergie vers les points de basse énergie.
L'équation précédente, pour être complète doit inclure un troisième terme
relatif à l'énergie cinétique qui dépend de la vitesse (1/2 .?.V2). En
divisant les termes par le produit constant ?.g, on exprime la charge
hydraulique en unité de longueur :
H = h + z + (V2/2g)
Mais, en règle générale, les écoulements souterrains sont très lents et le
terme relatif à l'énergie cinétique peut être négligé.

[pic]

La différence de charge est (Pe2 + Z2) - (Pe1 + Z1) = H2 - H1 = ? H)
On définit le gradient hydraulique comme la perte de charge (hydraulique)
par unité de longueur : Ix = ? H / ? x.

Par rapport au chapitre précèdent (chapitre VI : notion de nappe d'eau
souterraine), la cote piézométrique, exprimée par rapport au niveau de la
mer, représente la charge (potentiel) hydraulique.
Remarquons, que sur une verticale, la charge hydraulique est constante en
tout point.
Exemple : sur la verticale 1
Un point à la base : z=0 et P = H1 (+ Patmos que l'on prend égale à 0 par
convention)
Un point au sommet : Z=H1 et P=0
Un point à Z1 : Z1+ Pe1= H1


1.2 Application à l'interface eau douce-eau salée (zone littorale)
[pic]

. En considérant l'équilibre hydrostatique, les deux points sont au même
potentiel, soit
. (Z+h).? douce. g =Z.? salée.g
. De la relation précédente, il vient :
.
.
.
. On remarque que pour une baisse dh de 1 m d'eau douce, la remontée dZ
est de 40 m ! Une exploitation abusive de forage en zone littorale
conduit à un envahissement par l'eau salée de ces derniers et une
avancée à l'intérieur des terres du biseau.


II. Loi de DARCY

Nous allons la définir en partant de l'analogie entre phénomènes électrique
et hydraulique.
loi d'Ohm : si n est le nombre d'électrons qui se déplacent par unité de
volume et qui traversent une section du fil s à une vitesse moyenne u, la
quantité d'électricité est: dQ = n .e. s.u.dt (e: charge de l'électron),
c'est-à-dire le nombre de charges contenues dans le volume s.u.dt.
L'intensité du courant est le nombre de charges par unité de temps qui
traversent la section s, soit dQ/dt= i .
i s'exprime par le rapport entre la différence de potentiel entre a et b,
liée aux nombres d'électrons en a et en b, et la résistance du fil, elle-
même fonction de sa longueur, de sa section et de sa résistivité dont
l'inverse est la conductivité ou conductance:
i =ddp/R = ddp.s/(?.l)
[pic]
|Electrique |hydraulique |
|ddp= r.L.i/s | |
|soit | |
|i =ddp. | |
|s/(L.r) | |
|ddp |?h (m) |
|L, s |L, s (m, m2) |
|i |Q (m3/s) |
|1/? |K (m/s) |


Dans le dispositif hydraulique ci-dessus, qui est un perméamètre à charge
constante, le mouvement de l'eau au travers de l'échantillon de sol est
créé par la différence des niveaux d'eau ?h, qui est l'analogue hydraulique
de la ddp, la section du fil a pour analogue hydraulique la section de
l'échantillon, la longueur du fil a pour analogue la longueur de
l'échantillon. La conductivité a pour analogue une caractéristique du sol
qui exprime son aptitude à laisser passer l'eau: la perméabilité. i a pour
analogue un volume d'eau passant par unité de temps au travers de la
section de l'échantillon, c'est-à-dire un débit Q.
soit:
Loi de DARCY: Q = - K . s .?h/l . (l: trajet des molécules d'eau dans le
milieu engendré par ?h, s surface traversée perpendiculairement par les
molécules d'eau).
K a la dimension d'une vitesse (L.T-1).
Convention de signe :
Si le débit est selon l'axe des x croissant, alors Q>0, sinon Q