Exercice 1 Les ondes sismiques 9,5 pts

Afrique 2003 Exercice
n°1 : (9,5 points)

LES ONDES SISMIQUES
CORRECTION.(c) http://labolycee.org..

Partie A: Étude d'un séisme .
A.1.1. Pour une onde transversale, la direction de propagation de l'onde
est perpendiculaire à la direction de la perturbation.
A.1.2.
















A.2.1. D'après le texte, les ondes P sont plus rapides que les ondes S.
L'origine du repère (t = 0 s) a été choisie à la date du début du séisme à
San Francisco.
Le train d'ondes A est détecté en premier (dès t = 40 ms), puis le train
d'ondes B arrive ensuite à la station Euréka.















A.2.2. Détection du séisme à la station Euréka à la date t2 = 8 h 15 min 20
s.
Pour que les ondes P parcourent la distance d épicentre-Station Euréka, il
a fallu environ (t = t2 - t1 = 40 s.
Le séisme s'est donc produit à l'épicentre à la date t1 = t2 - (t
t1 = 8 h 15 min 20 s - 40 s = 8 h 14
min 40 s.
A.2.3. v = [pic] soit d = v.(t
d = 10(40 = 4,0.102 km
A.2.4. Pour parcourir la distance d, les ondes S ont mis une durée (t ' =
66 s. La célérité vaut v = [pic].
Soit v = [pic] = 6,06 km.s-1 soit environ v = 6,1 km.s-1


Partie B : oscillateur mécanique susceptible d'être excité par une onde
sismique longitudinale.

B.1. Oscillateur libre :
B.1.1.
Inventaire des forces subies par
le solide dans sa position
d'équilibre
[pic] poids du solide
[pic]réaction de la surface


B.1.2.
Inventaire des forces subies par
le solide en position x(t) > 0.
[pic] poids du solide
[pic]réaction de la surface
[pic] force de rappel du ressort
[pic] = - k.x(t).[pic]


B.1.3. équation différentielle du mouvement du solide dans le référentiel
associé au repère :
D'après la deuxième loi de Newton : [pic] + [pic] + [pic] = m.[pic]
Par projection suivant l'axe horizontal xx' d'origine O, il vient
0 + 0 - k.x(t) = m.[pic]
soit [pic] + [pic].x(t) = 0
B.1.4. x(t) = xmax cos([pic])
xmax : est l'amplitude du mouvement, elle correspond à la valeur maximale
de l'élongation x(t) et s'exprime en mètres.
T0 : période propre des oscillations, c'est la durée nécessaire au solide
pour effectuer une oscillation (un aller -retour), elle s'exprime en
secondes.
[pic] : phase à l'origine, elle s'exprime en radians. Pour t = 0 s, on a
x(0) = xmax . cos [pic].
t : date s'exprime en secondes.
B.1.5. [pic]

B2. Pour étudier les facteurs qui pourraient influer sur la période de
l'oscillateur, on réalise plusieurs expériences.
B.2.1. [pic]
T0 = [pic]= 0,99 s, cette valeur est en accord avec la détermination
graphique moins précise. En effet si on ne conserve qu'un chiffre
significatif pour le résultat du calcul de T0 on obtient T0 = 1 s.






B.2.2. v0x(3) = [pic], ce qui correspond au coefficient directeur de la
tangente à la courbe représentative de x(t) à la date t = 0 s. Cette
tangente est horizontale, donc v0x(3) = 0 m.s-1 ainsi v0(3) = 0 m.s-1.

Pour t = 0 s, x(0) = x0(3) = 7 cm.

B.2.3. D'après B.2.1., la période des oscillations déterminée graphiquement
pour les expériences 1, 2 et 3 est identique et vaut environ 1 s. Pourtant
les conditions initiales de mise en oscillation sont différentes.
Donc la période de l'oscillateur est indépendante des conditions initiales.
B.2.4.
| |conditions initiales |amplitude (cm) |
| |élongation initiale|vitesse initiale | |
| |(cm) |(m.s-1) | |
|expérience 1 |x0(1) = 5 cm |v0(1) = 0 |xmax(1) = 5 |
|expérience 2 |x0(2) = 5 cm |v0(2) < 0 * |xmax(2) = 7 |
|expérience 3 |x0(3) = 7 cm |v0(3) = 0 |xmax(3) = 7 |


* l'énoncé indique v0(2) < 0, il serait préférable d'écrire v0x(2) < 0.
C'est la coordonnée horizontale du vecteur vitesse initial qui est
négative. La valeur de la vitesse v0(2) étant toujours positive.

Pour répondre aux questions suivantes, il convient de comparer des
expériences pour lesquelles un seul paramètre a été modifié.
B.2.4.1. L'amplitude dépend de la vitesse initiale.
En effet pour une même élongation initiale(x0(1) = x0(2)), si l'on modifie
la vitesse initiale (v0(1) [pic] v0(2)) alors l'amplitude est différente
(xmax(1) [pic] xmax(2)).
B.2.4.2. L'amplitude dépend de l'élongation initiale.
En effet pour une même vitesse initiale (v0(3) = v0(1)), si l'on modifie
l'élongation initiale (x0(3) [pic] x0(1)) alors l'amplitude est différente
(xmax(3) [pic] xmax(1)).

B.3. Pour étudier les facteurs qui pourraient influer sur l'amplitude du
mouvement de l'oscillateur, on réalise de nouvelles expériences.













2,25T0(4) = 1,0 1,25 T0(5) = 1,5
T0(4) = [pic]= 0,44 s T0(5) = [pic]= 1,2 s
Dans les deux expériences, l'amplitude est la même pourtant la période est
différente. Donc l'amplitude des oscillations est indépendante de la
période.








B.4. Oscillateur élastique soumis à des oscillations forcées :
B.4.1. D'après le graphe 6, on lit xmax = 3 cm soit une amplitude
inférieure à celle de l'excitateur
(AE = 5 cm)
et on lit 2,5 T = 1,5 s soit T = [pic] = 0,6 s la période de l'oscillateur
est égale à celle de l'excitateur.
B.4.2. Le graphe montre une droite dont le coefficient directeur est égal à
1 et dont l'ordonnée à l'origine est nulle. Donc T = TE.
On retrouve la conclusion précédente : la période de l'oscillateur est
égale à celle de l'excitateur.

B.4.3. Le graphe de l'expérience 8 met en évidence le phénomène de
résonance (l'amplitude passe par une valeur maximale pour une période
déterminée).
TR = 1 s cette valeur est proche de la période propre de l'oscillateur,
soit TR = T0.



B.5. Oscillateur soumis à une onde sismique longitudinale.

B5.1. La direction privilégiée de l'onde sismique longitudinale doit être
celle de l'axe de l'oscillateur.

B.5.2.1 L'onde sismique de période TS impose sa période à l'oscillateur,
donc T = TS.

B.5.2.2. a) Si la période de l'onde sismique est égale à la période propre
de l'oscillateur, l'amplitude de l'oscillateur prend une valeur maximale,
supérieure à AS.

B.5.2.2. b) Si la période de l'onde sismique est supérieure ou inférieure à
la période propre de l'oscillateur, alors l'amplitude prend une valeur qui
dépend de T ; l'amplitude sera supérieure ou inférieure à AS.


-----------------------
Ondes S transversales

Ondes P longitudinales

perturbation de direction horizontale

perturbation de direction verticale

direction de propagation horizontale

Ondes P

Ondes S

(t

(t'

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

2,25T0(4)

1,25T0(5)