Etude d'une fonction trigonométrique (exercice résolu)

Etude d'une fonction trigonométrique (exercice résolu) Soit [pic] une fonction définie sur [pic] et Cf sa courbe représentative Note: Comme f(x) et une fonction périodique dont la plus petite période est
[pic], il suffit d'étudier ses propriétés sur un intervalle de longueur
[pic]. Les propriétés sur les autres intervalles bien choisis sont les
mêmes que sur celui-ci. . Calculer les coordonnées des points d'intersection de la Cf avec les
axes des coordonnées. Axe des abscisses.
On pose y = 0 et on résout l'équation [pic].
[pic], d'où [pic] et [pic]. On obtient ensuite [pic] et [pic].
La fonction est définie sur [pic] alors on obtient deux point
d'intersection de la Cf avec l'axe des abscisses - [pic] et [pic].
Axe des ordonnées.
On pose x = 0 et on obtient [pic]. Il existe un seul point d'intersection
de la Cf et de l'axe des ordonnées - [pic]. . Déterminer la dérivée de f.
La fonction f est dérivable sur son ensemble de définition. On obtient
[pic]. . En déduire les variations et les valeurs extrêmes de f et dresser le
tableau de variations de f. Etude du signe de la dérivée. a) [pic], d'où [pic]et [pic]. Sur l'ensemble de définition, on obtient
trois solutions: [pic], [pic]et [pic].
b) [pic] d'où [pic] et [pic]. b) [pic] d'où [pic] et [pic]. Interpétation des résultats. D'après b), la fonction f est strictement croissante sur [pic], strictement
décroissante sur [pic], pour [pic] et [pic], elle atteint le minimum - 3 et
pour [pic], elle atteint le maximum 1 (on calcule les images de [pic]). Tableau de variations. |x |[pic] [pic]|
| |[pic] |
|f'(x) | 0 + 0 |
| |- 0 |
|f(x) | 1|
| | |
| | |
| |-3 |
| |3 | . Construire Cf dans le repère [pic]. Note: Sans le Logarex, on place d'abord les points dont on connait les
coordonnées, c'est-à-dire les points d'intersection avec les axes des
coordonnées, les points où la fonction atteint les valeurs extrêmes. Avec
le Logarex, on utilise une translation de la courbe de référence et on
vérifie sa construction à l'aide des points cités ci-dessus. Les deux
méthodes sont acceptables. On obtient la Cf par la translation de la courbe représentative de [pic]
de vecteur [pic].
. Déterminer une équation de la tangente à la Cf au point de l'abscisse
[pic]
et la construire dans le même repère [pic] que la Cf. On sait que, en général, une tangente à la Cf a pour équation[pic].
On calcule [pic] et [pic]
On obtient [pic].