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Identification des processus élémentaires. « CULTURE DES SYSTÈMES SIMPLES » Objectif : reconnaître les réponses temporelle et fréquencielle des
processus simples :
1 : Applications
Application 1 : l'identification de processus Trouver une équation différentielle ou une fonction de transfert
satisfaisante pour un processus inconnu à partir de la réponse à une
excitation standard (comme l'échelon)
Application 2 : la synthèse des systèmes bouclès Choisir les paramètres du modèle d'un asservissement de façon à aboutir
à un comportement désiré (temps de réponse, gain, bande passante) 1.2 Quels sont ici les processus élémentaires ? On les représente par leur fonction de transfert. Ce sont :
. le retard pur, ou délai de T seconde, de fonction de transfert est :
[pic]
. l'intégrateur, [pic](qui possède un pôle en [pic])
. le premier ordre ou «constante de temps » : [pic] (un pôle réel
négatif si [pic])
. le processus du second ordre, en principe sinusoïdal amorti (à
enveloppe exponentielle décroissante) :[pic], 2 pôles complexes
conjugués, de module [pic]et de partie réelle [pic]
. également variantes et mixages de ces processus, tels produit,
exponentiation, somme ... :
[pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], [pic], ... Etablir réponses temporelle et fréquencielle :
2.1 Réponse temporelle : On peut penser aux réponses impulsionnelle [pic] et indicielle [pic].
Or, [pic] (en général !) on se contente donc de la réponse indicielle [pic]
dont on pourra tirer [pic].
Une technique rapide pour le calcul de [pic]ou [pic]sans table de
transformées de Laplace consiste à appliquer la formule des résidus (vue
précédemment). [pic]
Dans le second cas, on voit que l'échelon rajoute un pôle en 0 à
l'expression à inverser, ce qui :
(1) introduit un résidu supplémentaire, (2) modifie les résidus du premier
cas [pic]. 2.2 Réponse fréquencielle (ou harmonique): S'obtient à partir de la fonction de transfert [pic]en calculant le module
et l'argument de la quantité complexe[pic] :
. le Gain noté [pic], en décibel [pic] (log est le logarithme décimal ici)
. et la Phase notée [pic], en degré ou en radian.
On la représente dans le diagramme de Bode, avec les 2 courbes [pic]et
[pic], ou dans celui de Nichols, [pic]([pic]) ou dans celui de Nyquist
([pic]dans le plan complexe).
Point important : il y a additivité des gains (exprimés en dB) et il y a additivité des
phases pour deux processus élémentaires de fonctions de transfert[pic]et
[pic]placés en série : [pic] et d'autre part [pic] Donc, selon le diagramme adopté pour un processus de fonction de transfert
[pic]on pourra écrire :
. [pic]pour le gain et la phase dans le diagramme de Bode
. [pic] phase en abscisse, gain (en dB) en ordonnée
. [pic] puisque c'est [pic] 2.3 Effet des pôles sur les réponses temporelles En l'absence de pôles multiples, la formule des résidus calcule rapidement
la réponse indicielle [pic] associée à la fonction de transfert [pic]. On
suppose pour simplifier que [pic] n'a pas de pôle multiple, ni de pôle nul
pour le calcul du résidu en [pic]: Cas d'un pôle réel « simple » ou unique (c'est à dire une fois solution) [pic], [pic]simple, [pic]
Le premier terme donne la contribution à la réponse indicielle [pic] du
pôle [pic]. On voit :
. [pic], divergence, réponse non bornée
. [pic], convergence, [pic]disparaît avec le temps (et plus vite pour
[pic] si [pic]) Cas d'une paire de pôles complexes conjugués une fois solution [pic], avec [pic], [pic]conjugué de [pic].
[pic] résidus autres pôles
Le premier terme est une constante réelle[pic]. Les deux suivants sont
complexes conjugués, puisque [pic], leur somme est donc réelle. Posons
[pic], il vient [pic], et en définitive [pic] résidus autres pôles. On
remarque donc que :
. la partie réelle[pic]des pôles complexes conjugués intervient comme
argument de l'exponentielle enveloppe [pic], il faut nécessairement que
[pic]pour obtenir un régime sinusoïdal amorti. [pic] donne un régime
sinusoïdal, [pic]conduit à une divergence ou instabilité.
. la partie imaginaire[pic]est la pulsation des oscillations amorties
(appelée pseudo pulsation) Cas d'un pôle multiple Si par exemple [pic], l'application de la formule des résidus est plus
complexe, le calcul du résidu en[pic]implique de dériver une fois par
rapport à p et diviser par [pic], il vaut : [pic]. On ne le fait pas ici
mais on note qu'on arrive aux mêmes conclusions sur la divergence de [pic] Condition de stabilité EBSB Pour qu'un processus soit stable au sens EBSB, c'est à dire une entrée
bornée en amplitude donne nécessairement une sortie bornée en amplitude, il
faut et il suffit que tous les pôles de la fonction de transfert soient à
partie réelle strictement négative. Il suffit d'un pôle [pic]pour que la
réponse indicielle diverge (entrée bornée donne sortie non bornée)
EXERCICE
Quel est le facteur commun des fonctions de transfert suivantes ? Comment
se traduit-il dans la réponse impulsionnelle ? Et dans l'expression de la
réponse harmonique ?
[pic], [pic], [pic],[pic], [pic] Réponses des processus élémentaires (compléter les fiches)
3.1 Cas du retard pur , ou délai : Fonction de transfert :[pic]
3.2 Intégrateur [pic] (ou [pic]) Fonction de transfert :[pic] ? (avec
Matlab : >>inte=tf(a,[1,0]); Exercice : etudier l'Intégrateur double : [pic]ou système à inertie 3.3 Processus premier ordre type [pic], [pic] (ou constante de temps): C.Q.F.S.: Ce Qu'il Faut Savoir (a completer)
Réponses indicielle et harmonique de [pic] (tracées avec Matlab) Processus premier ordre type [pic], [pic] complété: C.Q.F.S.: Ce qu'il faut savoir ou ce qu'il faut savoir retrouver
Réponses indicielle et harmonique de [pic] (tracées avec Matlab)
Exercice: Compléter l'Etude de [pic],[pic] 3.4 Intégrateur plus constante de temps [pic], [pic].
Exercice : Reporter dans le diagramme de Nichols ci-dessous pour [pic] |[pic] |1 |[pic] |10 |[pic] |100 |
|[pic] | | | | | |
|[pic] | | | | | | 3.5 Approximation du pôle dominant (ou prédominant) Dans l'exemple [pic], on remarque que c'est le pôle [pic] « le plus lent »
qui fixe le temps de réponse en première approximation, et pas le pôle
[pic]
De façon générale, soient deux pôles [pic]et [pic]dont le rapport est
« suffisamment » différent de l'unité, par exemple : [pic] ou si les pôles
sont complexes [pic].
L'approximation du pôle dominant consiste dans ce cas à conserver
uniquement le pôle[pic]le plus lent qui est aussi le plus proche de l'axe
imaginaire. Cela revient à faire pour la fonction de transfert : [pic]
Exercice : étudier les réponses indicielle et harmonique de [pic]
En particulier, évaluer le temps de réponse à 5%
Exercice 2 : Appliquer cette approximation à
[pic], [pic] et [pic]
Utiliser diagramme fréquenciel (bode) et diagramme temporel ci-dessous pour
comparer [pic]et [pic]
-----------------------
[pic] Ajuster a et b [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] Réponse indicielle Réponse harmonique (diagramme de Bode) : [pic] [pic] Diagramme de Nichols [pic] [pic] [pic][pic] [pic] Nyquist [pic] [pic] Donner la fonction de transfert : Calculer Zéros et Pôles : Définir avec Matlab : inertie = Réponse indicielle Expression de la réponse harmonique: [pic] Tracé de la réponse harmonique
dans le diagramme de Nichols : Proposer une méthode d'identification du système à inertie : [pic] Zéros et Pôles : Réponse impulsionnelle
Réponse indicielle [pic]
Réponse harmonique (Bode)
Proposer des méthodes d'identification pour l'intégrateur : 1/b adB+bdB Deux pôles en : et : . Stables ? Réponse indicielle :
[pic] Tracer l'allure de [pic] Vérifier l'équation de l'asymptote
[pic]
Expression de la Réponse Harmonique :
Allure du diagramme de Bode : addition de [pic] et [pic]. Donner l'équation différentielle : Calculer pôles et zéros: Définir dans Matlab avec zpk >>tdep = zpk( Calcul de la réponse indicielle :
[pic]
Réponse harmonique dans le diagramme de Bode déduite du cas précédent .
Courbes de Gain (dB) et de Phase :
[pic] Equation différentielle associée :
Le pôle simple vaut , b est la constante de temps
Calcul de la réponse indicielle :
Calcul de la réponse harmonique : . [pic], [pic] ( asymptote
1)
[pic]
. [pic]
(asymptote 2)
[pic]
. [pic] pulsation de coupure [pic]
et [pic] La pulsation de coupure[pic] est à l'intersection des asymptotes de [pic],
puisque: [pic]en [pic] Reporter ces asymptotes sur la courbe de gain ci-après, et proposer une
approximation linéaire satisfaisante pour la courbe de phase.
Remarque : de cette réponse, on pourra déduire par additivité des courbes de gain et
des courbes de phase les réponses de :[pic], [pic] , [pic], [pic], [pic],
etc ... Déduire également des méthodes d'identification des paramètres a et b 1.sur l