Configurations fondamentales - Cercles

Configurations fondamentales - Cercles
Le cercle en classe de seconde avec GéoPlan. Sommaire
1. Tangentes à un cercle passant par un point donné
2. Cercles et trapèzes
3. Théorème de Ptolémée
4. Puissance d'un point par rapport à un cercle
5. Droites concourantes dans un quadrilatère inscrit
6. Hexagramme
7. Théorème de Clifford
9. Quadrilatère inscriptible orthodiagonal
Construction à l'équerre du milieu d'une corde
10. Théorème des cinq cercles Exemples d'exercices pouvant être résolus en classe de seconde avec les
configurations du plan.
Savoir reconnaître les configurations de base concernant le cercle et les
angles inscrits. Faire des maths ... avec GéoPlan : http://debart.pagesperso-orange.fr Ce document Word : http://www.debart.fr/doc/cercle_seconde.doc
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orange.fr/geoplan/config_cercle_classique.html Document no 60, réalisé le 22/12/2003 - mis à jour le 10/11/2008 1. Tangentes à un cercle passant par un point donné |[pic] |[pic] |
|D'un point M extérieur à un cercle, de |Soit P et Q les points d'intersection du|
|centre O, on peut mener deux tangentes à |cercle (c) et de la droite (OM) et H le |
|ce cercle ; elles touchent le cercle en A|milieu de la corde [AB]. |
|et B et on a MA = MB. |Les cercles de centre P et Q passant par|
|La droite (OM) est un axe de symétrie de |H sont tangents aux droites (OA) et |
|la figure. |(OB). |
|Construction d'Euclide |Le cercle de centre P est inscrit dans |
|Étant donné un cercle (c) de centre O et |le triangle isocèle MAB, le cercle de |
|un point M à l'extérieur du cercle, les |centre Q est exinscrit dans ce triangle.|
|points de contact A et B des tangentes | |
|issues de M sont les points | |
|d'intersection du cercle (c) et du cercle| |
|de diamètre [MO].) | |
2. Cercles et trapèzes Deux cercles (c1) et (c2), de centres O1 et O2, et de même rayon sont
sécants en A et B.
Le diamètre (AE), de (c2), recoupe (c1) en C,
le diamètre (AF), de (c1), recoupe (c2) en D.
Montrer que CDEF, O1CDO2 et O1FEO2 sont des trapèzes isocèles.
Cordes parallèles - Théorème de Reim A. Reim, géomètre sudète, 1832-1922
Deux cercles (c) et (c') se coupent en A et B.
Une droite (d) passant par A recoupe (c) en P et (c') en P'.
Une droite (?) passant par B recoupe (c) en Q et (c') en Q'.
Montrer que (PQ) et (P'Q') sont parallèles.
Solution : calculer l'angle de droites (PQ, P'Q') (PQ, P'Q') = (PQ, PP') + (PP', P'Q') (?),
= (PQ, PA) + (P'A, P'Q') (?),
= (BQ, BA) + (BA, BQ') (?) angles inscrits supplémentaires dans (c)
et (c'),
= (BQ, BQ') (?) = 0 (?).
(PQ, P'Q') = 0 (?) d'où (PQ) et (P'Q') sont parallèles. 3. Théorème de Ptolémée Claude Ptolémée, mathématicien, astronome et géographe grec est né vers 85
à Ptolémaïs Hermius, a vécu à Alexandrie et mourut à Canopé vers 165. Il
est considéré comme le plus grand astronome de l'antiquité. Son livre
grande syntaxe mathématique, écrit en 140, est connu sous le nom
d'Almageste. Il contient la somme des connaissances astronomiques de
l'époque et a dominé l'astronomie jusqu'à Copernic (1543).
Voir pentagone régulier : construction de Ptolémée
Un quadrilatère convexe est inscriptible, si et seulement si la somme des
produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales.
Avec les notations de la figure ci-dessous : AB × CD + BC × DA = AC × BD.
|[pic] |[pic] |
Démonstration de la propriété directe utilisant les angles inscrits et les
triangles semblables
Soit I le point de [AC] tel qu'on ait l'égalité des angles : ABI = CBD.
On a BÂC = BDC comme angles inscrits interceptant la même corde [BC]. Les
triangles CBD et IBA sont semblables,
[pic]=[pic] et AB × CD = IA × BD.
De même on a les égalités d'angles CBI = CBD + DBI = DBI + IBA = DBA. BCA =
BDA comme angles inscrits interceptant la même corde [BA]. Les triangles
ABD et IBC sont semblables,
[pic]=[pic] et AD × BC = IC × BD.
En sommant les deux égalités, on obtient :
AB × CD + AD × BC = IA × BD + IC × BD = (AI + IC) × BD = AC × BD, soit
l'égalité de Ptolémée.
Réciproque
Inversion : cette transformation n'est plus enseignée, mais pourrait être
citée en terminale S comme contre-exemple de la linéarité
L'inversion i(I, k) de pôle I et de rapport k est la transformation du plan
qui à un point M, distinct de I, fait correspondre le point M' de la droite
(IM) tel que [pic].[pic] = k.
Entre un couple de points (M, N) et son image (M', N'), on a : M'N' = [pic]
Une inversion de pôle I est une involution bijective du plan privé de I
dans lui-même.
L'image d'une droite ou d'un cercle, éventuellement privé du pôle I, est
une droite ou un cercle, éventuellement privé du point I.
Par une inversion, l'image d'une droite ne passant par le pôle est un
cercle, passant par le pôle, privé du pôle.
Démonstration de la propriété réciproque utilisant l'inversion
Soit quatre points A, B, C et D tels que :
AB × CD + BC × DA = AC × BD.
En divisant cette égalité par DA × DB × DC on a :
[pic]
Une inversion de pôle D transforme A en A', B en B' et C en C'.
Le calcul des distances entre les points transformés
A'B' = k [pic], ... entraîne, grâce à la formule précédente :
A'B' + B'C' = A'C'.
Les trois points A', B', C' sont alignés sur une droite (d). Les images
réciproques de points de la droite (d) sont situées sur un cercle (c)
passant par D. Les points A, B, C et D sont donc cocycliques. 4. Puissance d'un point par rapport à un cercle Notion disparue de l'enseignement français au lycée.
|[pic] |[pic] |
|Théorème d'Euclide |Lorsque A est à l'extérieur du cercle, avec |
|Si deux droites passant par un point A |une tangente (AT), on a : |
|coupent un cercle (c), l'une en B et C, |AB × AC = AD × AE = AT2 |
|l'autre en D et E, on a : | |
|AB × AC = AD × AE. | |
|Dans le cas où A est à l'intérieur du | |
|cercle, pour le démontrer il suffit de | |
|remarquer que les triangles ABE et ADC | |
|sont semblables ayant les angles en A | |
|opposés par le sommet et les angles | |
|inscrits BCD et BÊD égaux. | |
|En écrivant l'égalité des rapports | |
|[pic]= [pic], on conclut avec le produit| |
|des extrêmes égal à celui des moyens. | |
Pour un point A extérieur à un cercle (c), la puissance du point A par
rapport au cercle est le produit AB × AC, où une sécante issue de A coupe
le cercle en B et C. Cette puissance est constante lorsque la droite varie.
Elle est égale au carré de la longueur AT d'une tangente au cercle issue de
A :
AB × AC = AT2.
Elle est aussi égale à la différence du carré de la distance du point au
centre du cercle moins le carré du rayon : AB × AC = AO2 - OT2 = d2 - r2.
Si le point A est à l'intérieur du cercle la puissance négative est égale
à :
- AB × AC = d2 - r2.
Réciproques :
. si les droites (BC) et (DE) se coupent en un point A et qu'on a AB ×
AC = AD × AE (avec l'ordre des points A, B, C le même que l'ordre des
points A, D, E), alors B, C, D et E sont cocycliques.
. l'égalité AB × AC = AT2 est suffisante pour affirmer que la droite
(AT) est tangente au cercle.
Démonstration : angles inscrits et triangles semblables - A extérieur au
cercle
L'angle inscrit CBT interceptant l'arc CT est égal à l'angle CTT' de la
corde [TC] et de la tangente (TT'). Les angles supplémentaires ABT et ATC
sont aussi égaux et les triangles ABT et ATC ont cet angle égal et l'angle
en  en commun : ils sont donc semblables.
Des rapports de similitude égaux [pic]= [pic] on déduit, avec l'égalité des
produits des extrêmes et des moyens, que AB × AC = AT2.
Il résulte que le produit AB × AC ne dépend pas de la sécante, mais
seulement du point A.
En particulier pour la sécante (AO) la puissance du point A est aussi :
AD × AE = (AO - OD) × (AO + OE) = AO2 - OE2 = d2 - r2.
Résultat conforme à la relation de Pythagore dans le triangle rectangle
AOT. 5. Droites concourantes dans un quadrilatère inscrit ABCD est un quadrilatère inscrit dans un cercle. P, Q, R et S sont les
milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
P' est la projection orthogonale de P sur (CD),
Q' est la projection orthogonale de Q sur (DA),
R' est la projection orthogonale de R sur (AB) et
S' est la projection orthogonale de S sur (BC).
Montrer que les droites (PP'), (QQ'), (RR') et (SS') sont concourantes.
Indications pour la démonstration
Soit I le point d'intersection de (PP') et (QQ').
Montrer que 2 [pic] = [pic] + [pic] + [pic] + [pic].
Établir la même relation pour 2 [pic] où J est le point d'intersection de
(RR') et (SS').
Conclure que I = J est le point de concours des quatre droites. 6. Hexagramme a. Théorème de Pascal dit de l'hexagramme mystique :
Pour un hexagone inscrit dans une conique, le th