CORRIGÉ DES EXERCICES - Capes interne

CORRIGÉ DES EXERCICES La propriété est vraie pour le premier indice n = 0.
Supposons la propriété vraie pour un entier p arbitraire et montrons
qu'elle est vraie pour l'entier suivant p + 1. Alors :
[pic]
Ceci prouve que la propriété est bien vraie au rang p + 1. Remarquons que
ce raisonnement ne nous dit pas comment obtenir cette expression... Une piste sur le comment d'une formule, comme celle de l'exercice
précédent.
1) (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 pour tout x réel.
Écrivons cette égalité pour x = 1, 2, ..., (n - 1), n.
|x = 1 |22 |= |1 |+ |2 1 |+ |12 |
|x = 2 |32 |= |1 |+ |2 2 |+ |22 |
|x = 3 |42 |= |1 |+ |2 3 |+ |32 |
|... |... |..|..|..|... |..|... |
| | |. |. |. | |. | |
|x = n |n2 |= |1 |+ |2(n - |+ |(n - |
|- 1 | | | | |1) | |1)2 |
|x = n |(n + |= |1 |+ |2n |+ |n2 |
| |1)2 | | | | | | |
En additionnant ces n égalités, et en supprimant les termes identiques de
part et d'autre du signe =, on arrive à :
[pic]
d'où l'on tire [pic] et la valeur habituelle de S1.
Par le même procédé, on obtient [pic].
Par des regroupements judicieux de termes, on peut directement montrer que
la suite diverge....
|1 |( |1/2 |
|1/2 |( |1/2 |
|1/3+1/4 |( |1/4+1/4=1/2 |
|1/5+1/6+1/7+1/8 |( |1/8+1/8+1/8+1/8=4/8=|
| | |1/2 |
|1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14|( |8/16=1/2 |
|+1/15+1/16 | | |
Si bien qu'à coup sûr, [pic].
De la même façon, on montre que [pic]. Ainsi si l'on veut que up dépasse
10, il suffit de prendre p ( 2n avec ( 10 soit n ( 19. Plus généralement
si l'on veut que up dépasse N, il suffit de prendre p ( 2n avec ( N soit n
( 2N - 1.
Ceci prouve, en utilisant la définition que [pic].
Remarquons que d'autres démonstrations, moins élémentaires sont évidemment
possible. Il est clair par exemple que pour tout x appartenant à
l'intervalle [n ; n+1] (n entier naturel non nul), on a :
[pic]
d'où l'on déduit que
[pic] et [pic]
[pic]
En particulier, on peut écrire :
[pic]
[pic]
...
[pic]
[pic]
On en déduit que
[pic].
On conclut en remarquant que [pic] = +. 1) La dérivée ne ne peut pas être calculée de façon générale avec la
calculatrice: il est impératif de fixer une valeur à n.
[pic]
L'idée qui soutend cette première question est de déviner une formule
générale, à partir d'un grand nombre de résultats donnés par la
calculatrice, et de prouver cette formule par récurrence. Ceci peut être
abordé en terminale S, car la formule de Leibniz, qui donne la dérivée ne
d'un produit, n'est pas connue dans cette classe.
L'utilisation de seq permet d'obtenir immédiatement les dérivées d'ordre n,
jusqu'à n = 10 par exemple.
[pic][pic]
Il apparaît alors clairement que la dérivée ne s'écrit sous la forme :
[pic].
La seule difficulté, c'est de déterminer le terme constant du polynôme à
partir des premiers obtenus :
0, 2, 6, 12, 20, ...
À défaut des carrés, une grande familiarité[1] avec les nombres entiers
doit faire reconnaître les nombres de la forme n(n - 1) = n2 - n.
Le tout peut alors être validé par une démonstration par récurrence.
Le principe est le même pour la fonction qui suit.
[pic][pic]
On peut ici conjecturer que [pic], et le prouver par récurrence.
2) On raisonne de la même façon avec la primitive.
[pic]
Les premières expressions obtenues sont :
[pic]
pour les premières valeurs de n (de 1 à 6).
Il s'agit à partir de ces résultats de deviner l'expression générale de la
primitive.
On reconnaît certes le n! comme terme constant.
Regardons comment sur le dernier polynôme on passe d'un coefficient à celui
qui suit, sans s'occuper des signes que l'on gérera par une puissance de
-1 :
|1 | |6 | |
|A |C |I | |
Par produit en croix, la première égalité donne:
AB AC = AI AA'.
La dernière égalité donne celle qui est demandée.
2) a) De façon analogue, on prouve que les triangles AA'C et ABI sont
semblables.
b) Écrivons les éléments homologues des deux triangles :
|A |A'|C |On en déduit [pic]. |
|A |B |I | |
La deuxième égalité est celle qui est demandée.
c) Par conséquent :
[pic].
Par ailleurs, [pic] car ce sont deux angles inscrits interceptant le même
arc.
De même, [pic].
Comme [pic], car (AA') est la bissectrice de l'angle A', on peut en
conclure que [pic], ce qui prouve que le triangle A'BC est isocèle en A. On
en déduit que A'B = A'C.
Finalement [pic], ce qu'il fallait démontrer...
Une partie d'un ancien problème de bac C
1) a) L'intégrale [pic] existe car la fonction tann x est continue sur
l'intervalle [0 ; (/4]
b) Tous les termes de la suite (In) sont bien positifs, puisqu'on intègre
entre 0 et (/2 une fonction postive sur cet intervalle.
Par ailleurs, pour tout entier naturel n, on a:
[pic]
Or pour x appartenant à [0 ; (/4], tann x est positive ou nulle, tandis que
tan x - 1 est négative ou nulle.
La fonction à intégrer est négative, ce qui prouve que l'intégrale entre 0
et ( /4 est négative. La suite (In) est bien décroissante.
2) a) La dérivée de la fonction qui à x associe [pic] est :
[pic].
En intégrant de part et d'autre l'égalité précédente, il vient :
1 = (n + 1)(In + In + 2) d'où [pic].
b) De l'égalité précédente, on déduit [pic] ( 0 donc [pic].
Par ailleurs, [pic] d'après la décroissance de la suite. On en déduit la
seconde inégalité.
Finalement, pour tout entier naturel n, on a bien [pic].
c) D'après le théorème des gendarmes, on peut conclure que [pic].
d) On a [pic] et [pic].
Par suite, [pic].
3) a) Pour le calcul de I2, on peut écrire :
[pic]
b) On sait que [pic].
Donc :
[pic]
c) On sait aussi que [pic].
On a donc une autre expression de f(2) +... + f(4k - 2)
[pic]
Par suite :
[pic].
Donc [pic] tend vers [pic] lorsque k tend vers +(.
4) a) La fonction qui à x (ssocie ln(cos x) est bien définie sur
l'intervalle [0 ; (/4 ]. Elle est dérivable sur ce même intervalle comme
composée de deux fonctions dérivables.
On a [pic].
Une primitive dant tan x est donc -ln(cos x).
b) Comme précédemment, on peut écrire d'une part :
[pic]
dont la limite quand k tend vers l'infini est -I1.
D'autre part :
[pic]
Donc la limite quand k tend vers l'infini de [pic] est aussi - I1.
Que vaut I1 ?
[pic].
c) On peut en conclure en multipliant par -2 que la limite de [pic]quand k
tend vers +( est ln 2.
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[1] Le but d'un tel exercice est aussi de développer une plus grande
familiarité avec les nombres. Si l'on sait reconnaître des cubes ou des
carrés, il faut savoir aussi reconnaître d'autres formes, comme celle que
l'on rencontre ici !