TP n°1 : système du premier ordre (réponse indicielle).

T.P. numéro 1 : système du premier ordre : réponse indicielle.
Buts du TP : le but du TP n°1 est l'étude générale des systèmes du premier
ordre alimentés par un signal échelon (réponse indicielle). Cette étude
générale est complétée par trois applications pratiques tirées de
l'électricité et de la mécanique. 1. Introduction. Un système physique du premier ordre est un système dont la relation entrée
e(t) ( sortie X(t) peut être décrite par une équation différentielle du
premier ordre.
Si on suppose que le signal d'entrée e(t) est un signal échelon : e(t) E
t E0 Alors, cette équation peut être facilement résolue et la solution s'écrit :
Montrer, à partir de l'équation différentielle, que :
. e(t) a nécessairement la même unité que X(t) .
. ( est nécessairement homogène à un temps (on l'appellera constante de
temps).
. E est nécessairement la valeur finale de X(t). Rappeler (sans démonstration) les différentes étapes de la démonstration
pour trouver la solution de l'équation différentielle. La grandeur de sortie a nécessairement la forme d'une exponentielle : pour
mesurer la vitesse à laquelle croît la grandeur X(t), on mesure le temps de
réponse à 5%.
Par définition, tr5% : temps mis par le système pour rester autour de la
valeur finale à (5% de la variation du signal. E + 5% . (E-
E0)
e(t) E
E - 5% .
(E-E0) t
tr5%
E0
Montrer que, dans le cas d'un système du premier ordre, (pour cela, on pourra écrire que, pour t = tr5%, , X(tr5%) = E - 5% . (E-
E0))
Remarque : si E0 = 0, on dira que tr5%, est le temps mis par le signal pour
atteindre 95% de sa valeur finale. 2. Méthodes de mesure de la constante de temps (. Plusieurs méthodes existent pour mesurer la constante de temps (. Nous en
retiendrons deux :
- méthode des 63%.
- méthode de la tangente à l'origine. 1. méthode des 63%. On rappelle la solution de l'équation différentielle de départ :
a pour solution : si
e(t) passe de E0 à E à t = 0 s. On suppose que E0 = 0 Montrer alors que, si t = (, la valeur de X(t) est : X(() = 0 ,63 . E
(d'où le nom de la méthode des 63%) Si on réussit à placer E sur les 8 carreaux verticaux de l'oscilloscope,
que vaudra alors 63% de E ? Récapituler alors la méthode expérimentale pour mesurer la constante de
temps ( à partir de la mesure des 63% de la courbe. (on pourra s'aider du
chronogramme ci-dessous)
E
8
carreaux 63% de E
5 carreaux 0 2. méthode de la tangente à l'origine. L'équation de la tangente à une courbe X(t) à l'origine t = 0 s'écrit de
manière générale : Y = [pic]
Que vaut le paramètre b en fonction de E0 si la tangente doit passer par le
point (t = 0 ; Y = E0) ?
Sachant que : , exprimer
[pic] en fonction de E, E0 et (. Montrer enfin que la tangente ainsi trouvée coupe la droite Y = E (valeur
finale) en t = (. Récapituler alors la méthode simple pour mesurer la constante de temps ( en
traçant la tangente à l'origine.
(on pourra s'aider du chronogramme de la page suivante)
droite
Y =E
E
0 3. Manipulations. Trois manipulations sont proposées dans ce TP :
- deux manipulations sur des circuits RC
- une manipulation sur la vitesse d'un moteur à courant continu. D'autres manipulations sont possibles dans d'autres domaines de la
physique. J'ai fourni quelques liens internet pour y accéder. 1. manipulation n°1 : circuit RC simple. Le schéma du montage est le suivant :
R
i(t) u(t)
e(t)
C
Mesurer R et C avec un multimètre et comparer leurs valeurs à celles
indiquées par le constructeur. Montrer rapidement que la tension u(t) satisfait à l'équation
différentielle du premier ordre : Quelle est l'unité de la grandeur R.C d'après la partie 1°) ? Mesurer la constante de temps du montage en utilisant les deux méthodes :
. méthode des 63% : placer la tension e(t) sur 8 carreaux avec le
réglage vertical de l'oscilloscope et mesurer (.
. méthode de la tangente à l'origine : ne pas hésiter à dilater la
courbe horizontalement pour obtenir un tracé plus précis.
Comparer les résultats obtenus avec ces deux méthodes et la constante de
temps théorique ( = R.C et conclure sur la qualité de vos mesures en
calculant l'écart relatif.
2. manipulation n°2 : circuit R1, R2 et C. Le schéma du montage est le suivant :
R1 i(t)
i2(t) ic(t) u(t)
e(t)
R2 C
Mesurer R1, R2 et C avec un multimètre et comparer leurs valeurs à celles
indiquées par le constructeur.
Montrer que la tension u(t) satisfait à l'équation différentielle du
premier ordre : On exprimera ( et k à l'aide de R1, R2 et C en exprimant :
- i(t) en fonction de e(t), u(t) et R1 .
- i2(t) en fonction de u(t) et de R2.
- ic(t) en fonction de u(t) et de C.
- et en écrivant une loi des n?uds. Mesurer la valeur de la constante k en expliquant votre méthode.
Mesurer la constante de temps du montage en utilisant les deux méthodes :
. méthode des 63% : placer la tension e(t) sur 8 carreaux avec le
réglage vertical de l'oscilloscope et mesurer (.
. méthode de la tangente à l'origine : ne pas hésiter à dilater la
courbe horizontalement pour obtenir un tracé plus précis.
Comparer les résultats obtenus avec ces deux méthodes et la constante de
temps théorique ( = [pic]et conclure sur la qualité de vos mesures en
calculant l'écart relatif. 3. manipulation n°3 : mesure de la vitesse d'un moteur à
courant continu. Le moteur utilisé est un moteur à courant continu à aimants permanents :
Le flux d'inducteur est donc constant et on rappelle le modèle équivalent
du rotor de ce moteur : i
R (résistance de
l'induit) u (tension d'induit) L (inductance du moteur, à
représenter en mode dynamique)
E ( fem générée par la
rotation du moteur : E = K.(.() Dans ce modèle, on n'a pas représenté l'inducteur pour deux raisons :
. il intervient dans la formule E = K.(.( car l'inducteur crée le flux
(.
. il est constitué d'aimants permanents donc le flux ( est constant. On
appellera donc K.( = K1 En régime dynamique, écrire la relation (1) entre u(t), i(t) et E aux
bornes de l'induit.
Montrer que cette relation s'écrit : [pic] (1)
Bilan des puissances : rappeler le bilan des puissances pour un moteur à
vide : Pa = Pélectromagnétique =
Putile = PJ =
Pc = On appelle Pc la somme Pméca + Pfer, Pméca étant la puissance perdue par
frottement solide et Pfer la puissance perdue par hystéresis. On appellera Tp le couple de pertes correspondant à Pc. D'après le bilan des puissances, donner la relation entre Pc et u, i et R
pour un moteur à vide. Ecrire l'équation mécanique et montrer qu'elle se met sous la forme : [pic] (2) avec Tem le couple électromagnétique correspondant à Pem et Tp le couple
correspondant à Pc, que l'on prend constant par la suite. Montrer que : [pic] (3) A l'aide des équations (1), (2) et (3), montrer que la relation entre la
tension u et la vitesse ( est, en général, du second ordre :
[pic] Cependant, comme la constante de temps électrique (e = [pic] est souvent
petite devant la constante de temps mécanique (em = [pic], on se ramène à
un système du premier ordre où seule (em est prise en compte. Montrer alors que l'équation différentielle qui régit le système est :
[pic] où A est constant et s'écrit en fonction de u, K1, R et Tp. Donner alors la solution de cette équation si u passe de la valeur U0 à la
valeur U1.
Manipulations : on veut d'abord récupérer les grandeurs propres au moteur à
courant continu, à savoir R, K1, Tp et J Montrer qu'avec un essai en régime continu à rotor bloqué : U = R . I
Effectuer ce montage pour quelques valeurs de U et de I et donner la valeur
de R, résistance de l'induit. Montrer que, pour un moteur en régime continu : U = R .I + K1 . (
Relever alors les valeurs de U, I et ( pour différentes situations. Tracer
la courbe (U-R.I) = f(() et en déduire la valeur de K1. Remarque importante : ( peut être mesurée à partir des bornes DT qui
donnent un signal sinusoïdal dont la fréquence et l'amplitude varie