esiea 2001-2002 - Free

ESIEA 2001-2002
Distribution et analyse de Fourier TD : Transformée de Fourier des fonctions Corrigé Exercice 1 : Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes : [pic] où a est un nombre complexe tq Re(a)>0 et H est la fonction de
Heaviside b) [pic] a est un nombre complexe tq Re(a)>0, k est un entier positif, H
est la fonction de Heaviside
c) [pic] où a est un nombre complexe tq Re(a)>0 et H est la fonction de
Heaviside.
Corrigé :
a) f est une fonction intégrable sur R car : [pic] et a>0. On a alors :
[pic] D'où : [pic]
b) On peut remarquer que f est intégrable sur R et que : [pic]. En
utilisant une propriété de la transformée de Fourier (dérivée d'une TF)
et le résultat du a), on obtient : [pic] or [pic] d'où : [pic]
c) Remarquer que : [pic] On peut donc écrire : [pic] et en posant [pic]et
[pic]on a : [pic]. D'après la linéarité de la transformation de Fourier,
on obtient : [pic] or [pic]d'où d'après le résultat de a) : [pic] soit
: [pic] Exercice 2 : Montrer que [pic] où [pic], en déduire la transformée de la
fonction sinus cardinal.
Corrigé : En utilisant la formule de réciprocité de Fourier, on a : [pic]
NB : Cette démonstration est valable quand il y a in version de la TF :
quand f et f^sont dans L1. On montre que cette propriété est vraie dans L2
et pour les distributions tempérées. On sait que [pic]d'où [pic]or : [pic]et [pic] d'où : [pic]. On obtient
alors : [pic] Exercice 3 : Calculer la transformée de Fourier de
a) [pic] b) [pic] c) [pic]
d) [pic]
Corrigé :
a) On a [pic]d'où : [pic]
or [pic] d'où : [pic]soit : [pic]
a) [pic]
b) On a [pic]d'où :[pic]or : [pic] on obtient alors : [pic]soit [pic]
NB : pour calculer la Tf de la fonction telle qu'elle était proposée
initialement : [pic]mieux vaut faire un calcul intégral direct.
c) On a : [pic]d'où : [pic]soit [pic]
Exercice 4 : On se propose de résoudre l'équation de la chaleur : [pic] où [pic] est une fonction intégrable sur R.
On pose : [pic] (transformée de Fourier de f par rapport à x).
a) Vérifier que [pic]
b) En déduire F puis f. Corrigé : En admettant que l'on puisse dériver l'intégrale définissant F
par rapport à t, on obtient : [pic]or f étant solution de l'équation de la chaleur, on a : [pic]et
d'après les propriétés de la TF, o, obtient : [pic], la résolution de cette
équation différentielle linéaire nous donne : [pic] pour t=0 on obtient :
[pic] où [pic], on a donc [pic], d'où : [pic]or [pic], d'où [pic]