Questions - Association pour la difusion de l'économie politique ...

JUIN 2005

Questions

1) Expliquez ce que sont les rendements d'échelle croissants et dites
quelles
sont les conséquences de cette hypothèse sur la fonction d'offre du
producteur.
2) Qu'est-ce que la courbe des contrats?
3) Dans une économie d'échange pur, quel lien existe-t-il entre les
contraintes budgétaires des agents et la loi de Walras ?

NB Les 3 exercices qui suivent sont indépendants






Exercice I

Soit deux individus A et B ayant la même relation de préférence, qui peut
être représentée par la fonction d'utilité U(() définie par :
U(q1,q2) = q11/2 q21/2.
La dotation (ressources) de A sont :
Q°A = (20,10) pour A et Q°B = (10,5) pour B.

1) Donner une autre fonction d'utilité qui représente la relation de
préférence de A et de B.
2) De quelle forme sont leurs courbes d'indifférence ?
3) Calculer le taux marginal de substitution de A en Q°A et de B en Q°B.
4) Avec ces dotations initiales, A et B ont-ils intérêt à faire des
échanges ?
5) Que peut-on dire de l'état réalisable { Q°A, Q°B}.
6) Donner un vecteur prix d'équilibre de concurrence parfaite associé à cet
état réalisable.


Exercice II

On considère l'individu A de l'exercice précédent, avec la même dotation
initiale.
On suppose que p1 = 1 et que p2 est quelconque.

1) Que peut-on dire du bien 1 ?
2) Donner le revenu de A, aux prix donnés.
3) Donner sa demande du bien 1, à ces prix.
4) Pour quelle valeur de p2 , A décide-t-il de ne pas faire d'échange aux
prix donnés ?


Exercice III

Soit une entreprise qui produit une quantité q d'un bien à partir des
quantités q1 et q2 d'inputs selon la relation :
q = 6q11/3 q21/2.

1) Quels sont les rendements d'échelle de cette entreprise ?
2) Donner les productivités marginales de chacun de ses inputs, au panier
(q1, q2), à éléments strictement positifs.
3) En déduire le taux marginal de substitution en ce panier.
4) On suppose que p1= 2 et que p2 = 3. Donner l'équation du sentier
d'expansion.
Le prix du bien produit étant égal à 1, déterminer la demande d'inputs et
l'offre du bien aux prix donnés.
Correction

Questions

1) Les rendements d'échelle sont constants lorsque, si l'on augmente
tous les inputs selon une certaine proportion (quelconque l'output
augmente dans la même proportion) ; en concurrence parfaite, selon
que le prix du produit est supérieur, inférieur ou égal au coût
unitaire, l'offre est soit nulle, soit infinie, soit indéterminée.
2) La courbe des contrats est, dans le diagramme d'Edgeworth, la courbe
qui représente l'ensemble des optimums de Pareto, c'est-à-dire
l'ensemble des états réalisables tels qu'on ne peut améliorer la
situation d'aucun agent sans détériorer celle d'un autre.
3) La loi de Walras (la somme des demandes nettes en valeur est nulle)
résulte de la saturation des contraintes de budget, i.e. du fait que
le consommateur choisit un panier optimal dont la valeur est égale à
la valeur de ses dotations initiales.



Exercice I

1) Toute fonction d'utilité du type V(q1,q2) = (q1q2)? avec ? > 0
convient car les fonctions d'utilité sont définies à une fonction
croissante près : si U(.) représente correctement la relation de
préférence d'un consommateur et si f(.) est une fonction croissante
sur R+, alors V(.) = f?U(.) représente correctement la relation de
préférence. Ici f(x) = x2? ; f'(x) = 2?x2?-1 > 0 si ? > 0 et x > 0.
2) Les courbes d'indifférence sont de type hyperbolique : continues,
décroissantes, convexes et asymptotes aux axes. La réponse est
justifiée soit par le fait que la fonction d'utilité est Cobb-
Douglas, soit par l'équation d'une courbe d'indifférence : q2 = g(q1)
= U°/q1 ; g'(q1)=- U°/q12 0 (la courbe est convexe) ; lim g(q1)=0+ si q1>? et
lim g(q1)=? si q1>0+ (la courbe est asymptote).
3) TMS(q1,q2) =q2/q1. TMSA(20,10)=½=TMSB(10,5).
4) Leurs TMS étant égaux, les agents n'ont pas intérêt à faire des
échanges. Pour un taux d'échange p1/p2 < ½, ils sont tous deux
offreurs de bien 2 et demandeurs de bien 1, et réciproquement pour
p1/p2 > ½. Il n'y a donc pas de zone d'échange.
5) L'état réalisable {Q°A, Q°B} étant tel que les agents n'ont pas
intérêt à faire des échanges, c'est un optimum de Pareto.
6) Un vecteur prix d'équilibre de concurrence parfaite est tel que le
rapport des prix est égal au TMS des agents (égaux entre eux). Ici,
il faut donc p1/p2 = ½. Le vecteur prix est donc P = (p2/2, p2), p2 >
0.


Exercice II

1) le prix du bien 1 étant égal à 1, le bien 1 est appelé le numéraire.
2) Le revenu de A est RA = 20 + 10p2.
3) On cherche la quantité de bien 1 q1* telle que (q1*,q2*) soit la
solution de la maximisation de l'utilité du consommateur sous
contrainte de revenu.
Du fait de la non-saturation des besoins, la contrainte de budget
s'écrit sous forme d'égalité : p1q1* + p2q2* = 20 p1 + 10p2.
Parce que les CI sont de type hyperbolique, TMS(q1*,q2*) = p1/p2.
Avec p1 = 1 on obtient q1* = 10 + 5 p2.
4) Si A décide de ne pas faire d'échange, alors q1* = 20 ; ce qui
équivaut à : p2 = 2. On remarque qu'on obtient logiquement le même
résultat qu'à l'exercice 1.



Exercice III

1) Le degré d'homogénéité de la fonction est 5/6 < 1, donc les rendements
d'échelle sont décroissants.
2) f'q1(q1,q2) = 2q1-2/3 q21/2 et f'q2(q1,q2) = 3q11/3 q2-1/2 .
3) TMS(q1,q2) = 2q2/3q1.
4) L'équation du sentier d'expansion est : q2* = q1*.
5) Avec l'équation précédente et la fonction de production, on peut
exprimer le profit en fonction de q1 et on obtient : ?(q1) = 6q15/6-
5q1. La dérivée s'annule pour q1* = 1, et comme q2* = q1*, l'offre est
donc q* = 6.
JUIN 2004

Questions
1. Quelle est la signification économique de l'hypothèse de convexité des
courbes d'indifférence ?
2. Dans une économie de concurrence parfaite à deux biens, quelle est la
raison pour laquelle les demandes nettes de ces deux biens sont soit
toutes deux nulles, soit de signe opposé ?
3. Soit une économie à deux biens et deux consommateurs ayant la même
fonction d'utilité U(() définie par U(x,y)= x1/2y. Soit l'état
réalisable S = {(0,10), (20,0)} de cette économie. Donner,
éventuellement dans un diagramme d'Edgeworth, l'ensemble des états
réalisables préférés à S selon le critère de Pareto.

Exercices
I. Soit deux individus A et B ayant la même relation de préférence, qui
peut être représentée par la fonction d'utilité U(() définie par :
U(q1,q2) = q11/4 q21/2.
On suppose que la dotation initiale de A est : (10,0), celle de B étant :
(5,15).
1. Donner une autre fonction d'utilité, plus simple, représentant la même
relation de préférence. Justifier la réponse.
2. Quels sont les taux d'échange acceptables par A ?
3. A quels taux d'échange l'échange est-il possible entre A et B ?
Préciser quel bien offre alors chacun des agents.+
4. Les hypothèses de cette économie garantissent-elles l'existence d'un
équilibre général de concurrence parfaite ?
5. On suppose que le bien 2 est le numéraire. Quelle est en la
conséquence sur son prix ?
6. Déterminer la demande nette globale du bien 1, en fonction de p1.
7. Donner les prix d'équilibre de concurrence parfaite.

II. Soit une entreprise qui produit du bien 2 à partir du bien 1 selon la
relation (fonction de production) :
q2 = 4 .
1. Déterminer la nature des rendements d'échelle de cette entreprise.
2. Les prix des biens sont donnés ; on suppose p2 = 1 ; donner la demande
concurrentielle du bien 1 de l'entreprise.
3. En déduire son offre concurrentielle du bien 2.
4. Déterminer, pour cette offre, le profit de l'entreprise.

III. On considère l'économie formée par le ménage A de l'exercice I et
l'entreprise de l'exercice II. L'entreprise verse son profit à son
propriétaire, le ménage.
1. Le ménage et l'entreprise ont-ils intérêt à échanger ?
2. Donner la demande globale du bien 1, pour un prix p1 donné (on pourra
continuer à prendre le bien 2 comme numéraire).
3. Si p1 = p2 = 1, y a-t-il équilibre ?
Correction

Questions de cours

1) La convexité des courbes d'indifférence du consommateur s'interprète
économiquement comme le « goût des mélanges ». A deux paniers de biens
différents, Q et Q' jugés équivalents par le consommateur (donc situés
sur la même courbe d'indifférence), il préfèrera toujours un panier
composé d'une partie de chacun de ces paniers. Graphiquement, un
panier mélange est situé sur le segment qui joint Q et Q', et ce
segment est situé au dessus de la courbe d'indifférence passant par Q
et Q' si cette courbe est convexe.
2) C'est du fait de la loi de Walras que, dans une économie de
concurrence parfaite à deux biens, les demandes nettes des deux biens
sont soit nulles soit de signe opposé. Cette loi s'énonce de la
manière suivante : la somme des demandes nettes en valeur est nulle.
Ce qui peut s'écrire, dans une économie à deux biens : p1E1 +
p2E2 = 0. Comme les prix sont strictement positifs, on a . Si E1 = 0,
alors E2 = 0 ; si E1 > 0, alors E2 < 0 et réciproquement.
3) Les états réalisables préférés à S selon le critère de Pareto sont
les états réalisables préférés par les deux agen