les systemes triangules plans - accesmad

Ce document a été conçu par l'association ACCESMAD a destination des élèves
de l'enseignement technique de Madagascar. Il propose une méthode
pédagogique d'assimilation des contenus du texte des programmes intitulé:
REPOBLIKAN'I MADAGASIKARA Module de formation : mécanique et résistance des matériaux
LES SYSTEMES TRIANGULES PLANS Ref :SMF/05/04 Objectif général intermédiaire : A l'issue du sous-module, l'apprenant sera
capable de DETERMINER la nature et l'intensité des efforts dans les barres
d'un système triangulé en vue de leur prédimensionnement Exercice proposé : étude d'une structure treillis I-Objectifs de l'exercice :
-vérifier si la structure est bien isostatique,
-utiliser la méthode graphique de Crémona pour évaluer les efforts dans la
structure,
-utiliser une méthode énergétique pour évaluer un déplacement. II-Enoncé :
On considère la poutre suivante :
[pic]
On demande d'effectuer les recherches suivantes:
1- vérifier que la structure est isostatique,
2-évaluer les réactions aux appuis,
3-déterminer les efforts dans chacune des barres par une méthode graphique,
4-sachant que la section des barres est A=706.9mm2, évaluer les
déplacements vertical VD et horizontal HD au point D. On utilisera une
méthode énergétique. On vérifiera les résultats avec le logiciel RDM6. III-Résolution 1- La structure est isostatique si le nombre de forces inconnues (Ninc)
dans la structure et à l'extérieur de celle-ci est égal au nombre
d'équations d'équilibre (Neq) 1-a Nombre de Barres (B) et nombre de n?uds (N) : Un treillis est une structure triangulée articulée sur des n?uds. En
conséquence les barres ne reçoivent que des efforts normaux. Les n?uds
constituent les sommets des triangles .Un n?ud se trouve donc à
l'intersection d'au moins 2 barres.
Le point G ne recevant qu'une barre n'est pas un n?ud. La barre GF
n'appartient pas à un triangle formé de 3 barres ; elle ne fait que
transmettre la réaction en G sur le n?ud F.
La poutre treillis est donc limitée au domaine A, B, C, D, E, F, A, elle
possède 6 n?uds et 9 barres.
B=9 et N=6 1-b-Nombre de forces inconnues :
L'effort normal dans chaque barre constitue une inconnue. L'ensemble des 9
barres apportent donc B= 9 inconnues.
Les actions des liaisons extérieures aux points A et G sont également des
inconnues.
La réaction (RG) en G est l'opposée de l'effort normal apporté par la barre
GF. Celle-ci possède une composante horizontale, soit XG .
La réaction (RA) en A s'oppose aux efforts normaux apportés par les deux
barres AB et AF, elle possède deux inconnues XA et YA . Les actions de
liaison représentent donc 3 inconnues.
Le nombre total d'inconnues est donc égal à :
Ninc=B+3=12 1-c-Nombre d'équations d'équilibre:
Chaque n?ud est en équilibre. La somme des projections (algébriques) des
forces sur x et sur y doivent être nulle ce qui entraine deux équations
d'équilibre par n?ud.
Neq=2.N=12
La relation « B+3=2N » ou « B=2N-3 » est vérifiée ; elle est souvent
retenue pour caractériser l'isostaticité.
2-Détermination des réactions aux appuis :
Commençons par choisir un repère rectangulaire Gxy (voir fig). Représentons
les projections des forces agissant en A et G. La barres FG est articulée
en G et F, elle ne transmet qu'un effort normal de direction horizontale à
l'appui G ,la composante verticale YG est donc nulle. Attention ici le sens
des forces est celui des axes du repère , il ne correspond pas forcément au
sens réel. C'est le signe après calcul qui le déterminera. [pic] Le système étant en équilibre, le principe fondamental de la
statique(P.F.S) permet d'écrire les 2 conditions:
a- La somme des forces extérieures agissant sur la structure doit être
nulle: Les forces extérieures sont : la charge d'exploitation P et les réactions
aux appuis en A et G
[pic]
Soit, en projetant sur Ox (les projections étant des grandeurs
algébriques):
[pic]
Puis sur Oy:
[pic] b-La somme des moments des forces extérieures en un point doit être nulle:
C'est le point G qui est choisi pour évaluer les moments : [pic]
L'équation des moments en G se résume à :
[pic] 3-Efforts dans les barres (utilisation de la méthode graphique de Crémona):
3-1 Principe de la construction
La structure est partagée en domaines numérotés (ici de 1 à 8).Ces
domaines sont délimités par les barres et les forces extérieures à la
structure.
Par exemple, la force P partage le plan en 2 domaines 3 et 1. La force P
est représentée par le segment 3-1 sur le graphique.
La structure est en équilibre, cela signifie qu'à chaque n?ud, la somme des
forces est nulle. On trace pour chaque n?ud un polygone en mettant les
forces bout à bout. Celui-ci doit se fermer.
Le polygone ne peut être construit que si les efforts dans 2 barres au plus
qui convergent vers le n?ud sont inconnus.
Il n'est pas possible par exemple de commencer la construction à partir du
n?ud E point d'intersection de 4 barres ayant des efforts encore inconnus.
Commençons par l'équilibre du n?ud D. Représentons la force P par le
segment 3->1.
A partir de l'extrémité (point 1) traçons une parallèle à la barre DE puis
à partir de l'origine (point 3) tracer une parallèle à DC. L'intersection
donne le point 4. Point de fermeture du polygone du n?ud D. On tracera ensuite le polygone au n?ud C : Celui-ci ne reçoit aucune force
extérieure et reçoit 2 barres de même direction horizontale (CD et CB).
Ceci permet d'affirmer que l'effort dans la barre CE est nul (voir plus
loin l'explication*). Les points 4 et 5 du Crémona sont donc confondus. Il est possible de passer ensuite à l'équilibre du n?ud E qui reçoit les
deux barres EB et EF dont les efforts sont encore inconnus. On réalisera
l'équilibre des n?uds : B puis F puis A.
[pic] [pic]
3-2 Exploitation du graphique : En tournant autour du n?ud dans le sens horaire 3->1->4->3 on déduit le
type de sollicitation : Ainsi 1->4 désigne la force dans la barre DE ; sur le graphique elle agit
en diagonale vers le haut, elle « pousse » donc sur le noeud D, cette
barre est donc comprimée. De même 4->3 représente la force dans la barre DC ; sur le graphique
Crémona celle-ci agit de la droite vers la gauche, elle« tire » donc sur
le n?ud D, cette barre est donc tendue.
Ayant choisi au départ une échelle des forces, la longueur des segments
construits permet de déterminer l'intensité des forces.
Regroupons les résultats dans un tableau : Remarque : La somme vectorielle des forces extérieures P+XG+XA+YA
correspond au polygone :
3->1->2->8->3 sur le crémona. Cette somme est nulle puisque la structure
treillis dans son ensemble est en équilibre sous l'effet des charges
extérieures. |Noeud |Charge extérieure |Référence sur le |sollicitation |Intensité |
| |ou barre arrivant sur le|graphique Crémona| | |
| |n?ud | | | |
|D |Force P |3->1 |Force ext. |P=20kN |
| |DE |1->4 |compression |P.[pic]=28.2kN |
| |DC |4->3 |traction |P=20kN |
|C |CD |3->4 |traction |P=20kN |
| |CE |4->5 |Effort nul |0 |
| |CB |5->3 |traction |P=20kN |
|E |ED |4->1 |compression |P.[pic]=28.2kN |
| |EF |1->6 |compression |2.P=40kN |
| |EB |6->5 |traction |P.[pic]=28.2kN |
|B |BC |3->5 |traction |P=20kN |
| |BE |5->6 |traction |P.[pic]=28.2kN |
| |BF |6->7 |compression |P=20kN |
| |BA |7->3 |traction |2.P=40kN |
|F |XG |1->2 |Force ext |3.P=60kN |
| |FB |7->6 |compression |P=20kN |
| |FA |2->7 |Traction |P.[pic]=28.2kN |
| |FE |6->1 |Compression |2P=40kN |
|A |XA |2->8 |Force ext |3P=60kN |
| |AB |3->7 |traction |2P=40kN |
| |YA |8->3 |Force ext |P=20kN |
| | |7->2 |traction |P.[pic]=28.2kN |
Efforts évalués par le logiciel RDM6 [pic] (*) vérifions que l'effort dans le montant CE est nul :
considérons 3 forces s'exerçant sur un même n?ud et dont deux ont le même
support. Effectuons la somme vectorielle :F2+F3+F1 en plaçant les vecteurs bout à
bout comme l'indique la figure ci-dessous. [pic]
Sachant que les deux forces F1 et F2 ont même support, sur le polygone des
forces elles sont parallèles. Dans ce cas celui-ci ne peut se fermer
.L'équilibre n'est possible que si : [pic]
Ce résultat est général :
Lorsqu'un n?ud ne recevant aucune charge extérieure est le point
d'intersection de 3 barres dont deux ont même sup