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LP 27 Dipôles magnétiques. Aspects macroscopique et
microscopique.
Introduction: Après avoir étudié les notions de magnétostatique, nous
allons ici étudier un cas très courant de source magnétique: le dipôle
magnétique. Cette configuration est extrêmement importante, car cette
notion existe tant au niveau macroscopique qu'au niveau microscopique, même
si l'approche que l'on en fait n'est pas la même.
En général, un dipôle magnétique est caractérisé par l'action qu'a un
champ magnétique sur lui, que nous étudierons dans une seconde partie,
après avoir établi un certain nombre de propriétés du dipôle magnétique.
Nous ferons l'étude de ces dipôles dans le cas macroscopiques, c'est à dire
dans le domaine où ils correspondent à des boucles de courant, puis nous
généraliserons cette notion au domaine microscopique en mettant en évidence
la notion pertinente de moment dipolaire magnétique.
Enfin nous verrons quelques applications.
A) Champ magnétique créé par un dipôle magnétique:
1) Notion de dipôle magnétique : origine macroscopique et
microscopique.
Dans le domaine macroscopique, on considère un système de courant
permanents, et plus particulièrement une boucle de courant caractérisée par
son courant I et son vecteur surface [pic]. Cette définition de la surface
n'est pas artificielle. En effet, considérons une boucle circulaire de
centre O, et orientée dans le sens positif. On a [pic].
On définit alors le moment dipolaire magnétique par [pic].
Cette notion peut alors être généralisée à un ensemble de charges en
mouvement. Sur des trajectoires fermées:
Pour ceci, considérons une charge q sur une trajectoire circulaire, qui
tourne à la vitesse angulaire [pic]. Cette charge en mouvement est
équivalente à une spire de courant parcourue par un courant [pic]. Le
moment dipolaire associé s'écrit donc [pic]. Donc pour un ensemble de
charges en mouvement, on a [pic].
Enfin au niveau particulaire, on constate qu'une particule même au repos,
c'est-à-dire ne possédant aucun moment cinétique orbital, peut posséder un
moment magnétique intrinsèque, appelé spin, comme par exemple le proton,
l'électron ou le neutron.
En fait, comme je l'ai dit en introduction, l'existence d'un tel moment
se manifeste par l'action d'un champ magnétique extérieur, et nous y
reviendrons ultérieurement pour valider l'existence au niveau particulaire
d'un moment magnétique intrinsèque.
Par ailleurs, nous allons très bientôt voir que cette notion de moment
magnétique est la grandeur pertinente pour qualifier les effets d'une telle
distribution, tant par le champ magnétique qu'elle créé que par l'action
qu'à un champ extérieur sur elle.
2) Champ magnétique créé par un dipôle.
Conformément à ce que nous avons annoncé, nous nous placerons pour faire
l'étude du dipôle magnétique dans le cas macroscopique d'une spire de
courant, tout en gardant à l'esprit que les expressions reliées au moment
dipolaire magnétique ont une bien plus grande validité, et ceci sera vrai
dans toute la suite.
Le potentiel vecteur créé par une boucle de courant s'écrit:
[pic]
Or [pic].
Supposons alors que le point M soit très éloigné du dipôle. On a alors
[pic]. Cette approximation porte le nom d'approximation dipolaire, et nous
nous placerons dorénavant dans le cadre de cette approximation.
On a donc [pic]. On voit alors que la grandeur qui intervient dans ce
choix de jauge est bien le moment dipolaire [pic].
Calculons à présent [pic].
On a [pic], et donc [pic]. Calculons les deux termes séparément:
- [pic]
- [pic]
On en déduit que [pic]
Remarque : comme pour le dipôle électrique, le potentiel est en [pic]et
le champ en [pic].
Dessiner les lignes de champ et commenter la symétrie. Cf BFR
B) Action d'un champ magnétique sur un dipôle magnétique:
1) Notion d'énergie potentielle d'interaction d'un dipôle
macroscopique rigide plongé dans un champ [pic].
On considère une spire indéformable parcourue par un courant I libre de
se déplacer en translation ou en rotation, ce qui signifie qu'elle a six
degré de libertés.
Lorsque cette spire est plongée dans un champ magnétique [pic], elle
acquière une énergie potentielle liée à la présence des forces de Laplace,
telle que [pic], et on sait que [pic].
Cette énergie potentielle va nous permettre de calculer les actions
exercées par le champ sur le dipôle. 2) Réaction subie par le dipôle. Translation.
Considérons une translation infinitésimale du dipôle selon une direction
notée x:
[pic].
Par ailleurs on a [pic]. On en déduit donc que [pic], et ceci pour les
trois directions.
Il existe donc une résultante des actions mécaniques du champ sur le
dipôle uniquement si le champ magnétique est non uniforme, comme dans le
cas du dipôle électrique.
3) Couple subi par le dipôle. Rotation:
Considérons une rotation infinitésimale selon [pic]. Le travail des
forces de Laplace s'écrit alors [pic].
On en déduit alors que [pic]
Le couple est donc nul si le moment dipolaire est parallèle à [pic]:
celui-ci va donc tendre à s'aligner selon la direction du champ magnétique,
et parallèlement pour le sens de façon à minimiser son énergie potentielle.
4) Généralisation au microscopique:
Nous n'avons raisonné dans tout ce qui précède sur une spire
macroscopique. Tous les résultats se généralisent aisément au cas d'une
distribution de charges en mouvement. Par contre, l'extension est moins
évidente pour le particulaire. En fait, par extension et par définition,
une particule subissant des forces du type [pic], en plus de la force de
Lorentz si elle est chargée, comme c'est le cas de l'électron, en
traversant un champ magnétique est caractérisée également par un moment
dipolaire magnétique intrinsèque.
Ordres de grandeur:
- pour la terre [pic], ce qui donne un champ à l'équateur magnétique
[pic].
- pour une spire circulaire de rayon 5cm et parcourue par I=1A, [pic],
soit un champ sur l'axe à 1cm [pic]
- pour un moment magnétique intrinsèque, il est pour l'électron est de
l'ordre de [pic], et pour le proton de [pic]. Le champ magnétique créé
par un électron à un dixième d'Angström vaut alors [pic] . Il est
intéressant de constater qu'il faut être à une centaine d'angström
pour que le champ magnétique créé par le spin de l'électron soit aussi
faible que le champ magnétique terrestre. On comprend alors pourquoi
celui-ci n'est jamais pris en compte dans les effets magnétiques au
niveau microscopique.
Remarque: on a privilégié dans le dernier cas l'unité [pic] que l'unité
[pic] puisque ces dernières unités n'ont plus beaucoup de sens dans ce cas
là. Par contre, les autres prennent toutes leur signification puisqu'elle
caractérise l'accroissement d'énergie potentielle par unité de champ
magnétique.
C) Applications:
1) Champ magnétique terrestre.
Gauss a montré qu'en première approximation, on pouvait considérer que
l'on pouvait assimiler le champ magnétique terrestre à un dipôle magnétique
placé au centre de la Terre et orienté suivant un axe géomagnétique [pic],
qui fait un angle avec l'axe de rotation de la Terre qui varie au cours du
temps
Dessiner les lignes de champ.
En 1985, il valait 11° et perçait la Terre en un point Nord situé vers le
Groenland (latitude 79° N longitude 289° Est).
Déterminons alors l'équation des lignes de champ. Elles sont données par
[pic] , soit [pic]. On obtient alors, avec [pic], [pic], soit [pic]
La norme du champ en un point [pic]est donnée par [pic], et donc la norme
du champ magnétique le long d'une ligne de champ donnée vaut:
[pic], en introduisant la colatitude magnétique [pic].
A l'équateur géomagnétique, le champ magnétique vaut alors, à la surface
de la Terre:
[pic].
On comprend alors le principe d'une boussole : celle-ci est constituée
d'un barreau aimanté qui se comporte donc comme un dipôle magnétique [pic]
dirigé dans le sens de la flèche, libre de pivoter dans un plan horizontal.
Lorsqu'elle est placée dans le champ magnétique terrestre, elle va se
placer de manière à minimiser son énergie potentielle, c'est-à-dire dans le
sens de [pic]. Elle va donc indiquer le Nord.
On va donc pouvoir selon ce principe réaliser des compas magnétiques,
dont la réponse aux changements de direction va être très rapide.
2) Expérience de Stern et Gerlach.
a) Dispositif expérimental:
On envoie des ions [pic]dans l'entrefer d'un aimant où règne un champ
magnétique inhomogène. Les moments magnétiques, à priori distribués
aléatoirement, vont alors être déviés par le champ dans une direction qui
sera fonction de leur orientation par rapport à la direction [pic].
b) Cas classique:
On suppose que [pic].
Dans l'entrefer, la force qui va s'exercer sur un dipôle arrivant avec
l'orientation [pic] par rapport à la direction de l'inhomogénéité va
s'écrire [pic].
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit alors:
[pic], ce qui s'intègre en [pic] et [pic]
La trajectoire décrit donc une parabole d'équation [pic], et on en déduit
que [pic], et donc qu'à la sortie de l'entrefer [pic], on a [pic]. On en
tire immédiatement la déviation qui est telle que [pic].
Par ailleurs, dans le cas classique on suppose que toutes les directions
possibles des dipôles sont équivalentes (répartition isotrope). Le nombre
d'atomes ayant la direction de leur moment dipolaire entre [pic] et [pic]
s'écrit alors [pic].
Si le gradient de champ n'est pas trop fort, on peut alors se placer dans
l'hypot