TD O1 : Les bases de l'optique - PCSI-PSI AUX ULIS

TD T1 : Du gaz parfait aux gaz réels




But du chapitre

. Introduire le vocabulaire de la thermodynamique en étudiant le modèle
du gaz parfait monoatomique.
. Faire apparaître ce qui est particulier au gaz parfait monoatomique,
ce qui est généralisable au gaz parfait et ce qui est généralisable
aux fluides réels.




Plan prévisionnel du chapitre

I - Etat d'un système thermodynamique
1°) Qu'est ce qu'un système thermodynamique ?
2°) Comment définir l'état d'un système thermodynamique ?
II - Le gaz parfait monoatomique
1°) Le modèle du gaz parfait
2°) Comment définir la pression cinétique d'un gaz parfait monoatomique ?
3°) Comment définir la température cinétique d'un gaz parfait
monoatomique ?
5°) Comment définir l'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique ?
III - Comment passer du gaz parfait monoatomique à un gaz parfait
polyatomique ?
1°) Equation d'état
2°) Energie interne d'un gaz parfait
IV - Du gaz parfait au gaz réel
1°) Quand peut-on décrire un gaz réel en utilisant le modèle du gaz
parfait ?
2°) Existe-il un autre modèle pour décrire un gaz réel ?
3°) Que représentent les coefficients thermoélastiques d'un fluide ou
d'une phase condensée ?
V - L'état condensé
1°) Quel est modèle qui est usuellement choisi pour un état condensé ?
2°) Quelle est l'énergie interne d'une phase condensée ?


Savoirs et savoir-faire

Ce qu'il faut savoir :
. La différence entre un système ouvert, fermé ou isolé.
. Les propriétés respectives des grandeurs extensives et intensives.
. La notion d'équilibre thermodynamique.
. Donner l'équation d'état des gaz parfaits sous ses deux formes (en
fonction du nombre total N de particules dans le système et en
fonction du nombre de moles n du système) ; nommer chaque grandeur y
intervenant et préciser leur unité.
. Donner l'expression de l'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique
et d'un gaz parfait diatomique, et citer la première loi de Joule.


. Citer les hypothèses du modèle du gaz parfait et expliquer brièvement
les corrections apportées par le modèle de Van der Waals (l'équation
d'état d'un gaz de Van der Waals sera donnée par le professeur).


. Donner la définition du coefficient de compression isotherme et
retrouver son expression dans le cas d'un gaz parfait.
. Donner la définition du coefficient de dilatation isobare et retrouver
son expression dans le cas d'un gaz parfait.
. Quels états de la matière entrent dans la catégorie des fluides ? Dans
la catégorie des phases condensées ? Que dire des coefficients
thermoélastiques dans le cas des phases condensées et pourquoi ?
Ce qu'il faut savoir faire :
. Calculer des coefficients thermoélastiques.
. Redémontrer les expressions de la pression cinétique et de la vitesse
quadratique moyenne en fonction des autres variables d'état.
. Interpréter l'équation d'état de Van der Waals

Erreurs à éviter/ conseils :


Attention à bien utiliser la température absolue T (unité : K) dans
les formules.


La capacité thermique à volume constant, la capacité thermique molaire
à volume constant et la capacité thermique massique à volume constant
sont des grandeurs différentes (la première est extensive, les deux
autres sont intensives). Il convient donc de lire attentivement
l'énoncé pour savoir laquelle nous est-effectivement fournie (on
pourra s'aider des unités).



Applications du cours


Application 1 : Pression de pneumatiques
En hiver, pour une température extérieure de - 10°C, un automobiliste règle
la pression de ses pneus à 2 atm pression préconisée par le constructeur.
1°) Quelle mesure donne un manomètre ?
2°) Quelle serait son indication en été à 30 °C ? On suppose que le volume
des pneus ne varie pas et qu'il n'ya aucune fuite au niveau de ce dernier.
L'air est assimilé à un gaz parfait.
3°) Calculer la variation relative de pression due au changement de
température. Conclure.

Application 2 : De l'équation d'état molaire à l'équation d'état extensive
Une mole de gaz réel vérifie l'équation d'état suivante :
[pic]
Etablir l'équation d'état pour n moles.

Application 3 : Quelques ordres de grandeur
L'hélium a pour masse molaire M = 4,00 g.mol-1 . L'enceinte est à T = 300 K
et de volume V = 1,00 m3. Elle renferme n = 10,0 mol.
a) Calculer la densité moléculaire n*. On donne NA = 6,02 1023 mol-1.
On appelle volume moléculaire V* le volume moyen disponible pour une
molécule de fluide. Calculer V*.
b) On appelle distance intermoléculaire d* la distance entre les centres de
masse de deux molécules voisines. Calculer l'ordre de grandeur de d* (en
prenant un modèle grossier cubique pour chaque molécule). Comparer au rayon
de l'hélium (r = 128 pm) et conclure.
c) Calculer la pression cinétique puis calculer la vitesse quadratique
moyenne des molécules. On donne R = 8,31 J. K-1.mol-1.
d) Calculer l'énergie cinétique moyenne d'une molécule puis en déduire
l'énergie interne du système, l'énergie interne molaire et la capacité
thermique molaire CVm.

Application 4 : Calcul des coefficients thermoélastiques en utilisant des
dérivées partielles
Calculer les coefficients thermoélastiques pour un gaz réel vérifiant
l'équation d'état :
PV = nRT + nbP
Aide : Le cheminement peut être le suivant :
- écrire l'expression du coefficient demandé ;
- à partir de l'équation d'état, exprimer V en fonction des autres
variables d'état ;
- selon le coefficient recherché, calculer la dérivée partielle
[pic]ou [pic] et la reporter dans l'expression du coefficient
thermoélastique.
Remarque : Calculé pour P = cste, [pic]s'identifie à [pic].
Application 5 : Calcul des coefficients thermoélastiques par
différentiation
Calculer les coefficients thermoélastiques pour un gaz réel vérifiant
l'équation d'état :
[pic]
Aide : Le cheminement peut être le suivant :
- écrire l'expression du coefficient demandé ;
- différentier l'équation d'état en supposant P = cste (pour
déterminer ?) ou T = cste (pour déterminer ?T).
Remarque : Calculé pour P = cste, [pic]s'identifie à [pic].

Application 6 : Utiliser les coefficients thermoélastiques
1°) Thermomètre à alcool
Un thermomètre à alcool est porté à une température maximale telle que son
réservoir et sa colonne verticale sont complément remplis de liquide
d'équation d'état V = f(P, T).
On donne les coefficients thermoélastiques supposés constants :
? = 11,2.10-3 K-1 et ?T = 3,4 10-5 bar-1.
a) Montrer qu'une simple augmentation de température de 0,5 °C suffit à
créer une surpression considérable. Que se passe-t-il ?
b) Etablir l'équation d'état de ce liquide. On pose que V = V0 pour P = P0
et T = T0.
c) Calculer l'écart relatif de volume [pic] pour une variation de 10 K à
pression fixée ou pour une variation de 10 bar à température fixée.
Conclure sur le modèle usuel choisi pour les états condensés.
Indication : Écrire la variation de volume provoquée par une variation de
pression dP et (ou) de température dT sachant que V est une fonction d'état
V = f(P,T).
2°) Thermomètre à gaz
On utilise du dihydrogène sous pression fixée (faible de manière à pouvoir
l'assimiler à un gaz parfait).On étudie la variation de son volume avec la
température t (°C) dans un thermomètre entre 0 °C et 30 °C. On trouve une
loi expérimentale du type :
V = V0.(1 + [pic] avec [pic]
a) Écrire la définition de ? et l'appliquer au gaz parfait. Peut-on
assimiler [pic] au coefficient de dilatation isobare d'un gaz parfait ?
b) Retrouver pour H2 la proportionnalité du volume V avec la température T
(K). Quel est le coefficient de dilatation isobare de ce gaz ? Quelle est
sa valeur moyenne entre 0 et t °C ?

Exercices

Exercice 1 : Ouverture d'une bouteille d'air comprimé
L'air est assimilé à un gaz parfait. Une bouteille d'acier, munie d'un
détendeur, contient dans un volume V1 = 60. 0 L de l'air comprimé sous P1 =
15,0 bar et T1 = 298 K .
On donne : R = 8,31 J. K-1.mol-1 et Mair = 29,0 g.mol-1.
a) Calculer la quantité d'air contenue dans cette bouteille molaire.
b) Quelle est la masse volumique de l'air comprimé dans ces conditions ?
Sa densité ?
c) Sachant que l'air peut être assimilé au mélange (en mol) 21 % O2 (MO =
16 g.mol-1), 78 % N2 (MN = 14 g.mol-1) et 1 % de gaz nobles (Ar),
calculer la masse de dioxygène contenue dans cette bouteille.
d) On ouvre le détendeur à l'air atmosphérique (pression P2 = 1,0 bar,
température T2 = 298 K). Quel volume d'air comprimé s'échappe de la
bouteille à température constante ?

Exercice 2 : Mixage
On considère le dispositif de la figure suivante :
[pic]
V1 = 1,0 L de dioxygène (MO2 = M1 = 32 g.mol-1) à T1 = 20 °C et sous P1 =
3,0 bar et V2 = 3,0 L de dioxyde de carbone MCO2 = M2 = 44 g.mol-1) à 50 °C
= T2 sous P2 = 2,0 bar, sont mélangés dans un récipient initialement vide
de volume V = 5,0 L à 40 °C = T3.
a) Calculer la pression finale du mélange obtenu (modèle gaz parfait).
b) Calculer les pressions partielles en O2 et CO2, dans ce mélange, à
savoir les pressions qu'auraient ces gaz s'ils occupaient seuls tout le
volume, à la même température.

Exercice 3 : Production de neutrons thermiques
Les neutrons sont produits dans un réacteur nucléaire lors de la fission
d'un combustible nucléaire avec des énergies cinétiques de quelques MeV
(106 eV). Il est nécessaire pour produire des neutrons thermiques de les
amener à des énergies inférieur