ECRICOME 2006 : corrigé succinct - Baudrand

ECRICOME 2006 : corrigé succinct


Exercice 1 : 1.1. 1°) f étant de classe C[pic]sur R on peut la dériver
et étudier le signe de f ' ;
f '(x) = 1+2e[pic]>0 sur R donc f strictement croissante ; [pic] et
[pic](pas de FI à signaler).
2°) [pic] donc la droite [pic]d'équation : y=x+1 est
asymptote à la courbe en -[pic] et la courbe est toujours au-dessus car
2e[pic]>0 sur R.
3°) f continue et strictement croissante sur R donc f
réalise une bijection de R sur
f(R)= R d'où l'existence et l'unicité de [pic] ; enfin f(-2)=-1+2e[pic]0 donc [pic].
4°) g étant de classe C[pic]sur R² on peut calculer
ses dérivées partielles du 1er ordre ; avec les notations usuelles on
trouve : p=e[pic](x+y²+1+2e[pic]) et q=2y e[pic] ; puisque e[pic]>0 on a
p=q=0 [pic]y=0 et x+1+ 2e[pic]=0 soit y=0 et f(x)=0 : le seul point
critique est donc A([pic],0).
5°) r= e[pic](x+y²+2+4e[pic]), s=2y e[pic] et t=2
e[pic] donc en A : rt-s²=2e[pic]([pic])>0 car [pic]>-2 (entre autres !)
donc il y a un extremum local en A et comme r>0 il s'agit d'un minimum.
6°) [pic]=g([pic],0)= e[pic]([pic]) or f([pic])=0[pic]
e[pic]=[pic] en remplaçant il vient [pic]=[pic] soit [pic]= -[pic]+1 ce
qui est le résultat voulu.

1.2. 1°) f ''(x)=1+2e[pic]>0 donc f convexe sur R. On en
déduit que la courbe est au-dessus de ses tangentes ! une équation de la
tangente T à la courbe au point d'abscisse x est y=f '(x)(t-x)+f(x) donc
l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse t, soit f(t), est plus grande
que l'ordonnée du point de T d'abscisse t c'est-à-dire : f(t)[pic] f '(x)(t-
x)+f(x) ... CQFD.
2°) remplaçons t par [pic] et x par u[pic] dans
l'inégalité précédente :
f([pic])[pic] f '(u[pic])( [pic]- u[pic])+f(u[pic]) soit : 0[pic] f
'(u[pic])( [pic]- u[pic])+f(u[pic]) divisons enfin tout par f '(u[pic])
(car f '(x)>0) et nous obtenons : 0[pic] [pic]- u[pic]+[pic] soit :
0[pic] [pic]- u[pic] de par la définition de la suite (u[pic]).
Faisons un raisonnement par récurrence :
* initialisation : pour n=0 u[pic]= - 1 , u[pic]= u[pic] - [pic]< u[pic]
car f(-1)0 or u[pic][pic]
(hypothèse de récurrence), f croissante et f([pic])=0 font que u[pic]-
u[pic][pic]0 soit u[pic] [pic] u[pic][pic]-1 (hypothèse de récurrence) ;
enfin [pic][pic]u[pic] a été démontré précédemment ; on a donc bien :
[pic][pic]u[pic][pic] u[pic][pic]-1 ce qui est la propriété au rang N ;
* conclusion : pour tout n de N on a : [pic][pic]u[pic][pic] u[pic][pic]-1
.
La suite est décroissante, minorée par donc elle converge vers un
réel L ; si on fait tendre N vers dans la relation u[pic]-u[pic]=[pic] on
en déduit que : L=L - [pic] (car f et f 'sont continues) d'où f(L)=0 soit
L=[pic].
3°)
a) on remplace x par u[pic], on divise par f '(u[pic]) et on obtient :
0[pic]u[pic]- [pic] - [pic][pic][pic]
soit 0[pic]u[pic]- [pic][pic][pic] car f '(x)= 1+2e[pic]>1.
b) * hérédité : de 0[pic]u[pic]- [pic][pic][pic] (résultat du a)) et
de 0[pic]u[pic]- [pic][pic][pic] (hypothèse de récurrence) on en déduit :
0[pic]u[pic]- [pic][pic] [pic] or [pic]= [pic]=[pic] ce qui est le
résultat au rang n+1.
4°) Program ecricome ;
commentaires
var p,n,k :integer ;
var u,q,r :real ;
function f(x :real) :real ;
déclaration de f
function g(x:real):real; déclaration de
f '
begin
f:=x+1+2*exp(x); g:=1+2*exp(x);
end;
BEGIN
Writeln('choix de p');
Readln(p);
q:=1; r:=1;
initialisations de 10[pic]et de 2[pic]
For k:=1 to p do q:=q/10; calcul
de 10[pic]

Repeat r:=2*r ; calcul de
2[pic] u := u -f(u)/g(u) ;
calcul de u[pic]
Until 1/(exp(r)-1) 0 et on reconnaît
la densité d'une loi Exponentielle de paramètre [pic] ; donc E(Y)= et V(Y)=


Exercice 3 : 3.1. 1°) P étant un polynôme de degré au plus 2, P' est
un polynôme de degré au plus 1 donc (x-1)P'(x) est un polynôme de degré au
plus 2 additionné avec P on obtient donc un polynôme de degré au plus 2 :
f(P)[pic] E ; pour le morphisme on peut vérifier que : f(aP[pic] +bP[pic])=
af(P[pic])+bf(P[pic]) grâce à la linéarité de la dérivation.
2°) si on Q[pic], Q[pic] et Q[pic] les images de
P[pic], P[pic] et P[pic] par f on a : Q[pic](x)= P[pic](x), Q[pic](x)=x-1
+ P[pic](x)=2x-1=2 P[pic](x )- P[pic](x), Q[pic](x)=(x-1)2x+ P[pic](x)=3x²-
2x=3 P[pic](x)-2 P[pic](x ) ; d'où A.
3°) A est triangulaire supérieure donc ses valeurs
propres sont les termes diagonaux : 1, 2 et 3 ; A a 3 valeurs propres
distinctes dans un espace de dimension 3 donc A est diagonalisable ; de
plus aucune valeur propre n'est nulle donc A est inversible : f est donc
diagonalisable et est un automorphisme.
4°) on vérifie que f(R[pic])= R[pic], f(R[pic])=
2R[pic] et f(R[pic])=3R[pic]
5°) (R[pic],R[pic],R[pic]) est une famille de 3
vecteurs propres (car tous non nuls) associés à 3 valeurs propres
distinctes donc B' famille libre de 3 vecteurs dans un espace de dimension
3 : base de E.
P=[pic] et D=[pic]
6°) vérification élémentaire puis : P[pic]=[pic]. (on
peut vérifier que P[pic]P=I[pic])
7°) classique ! D= P[pic]AP (changement de base) puis
A=PD P[pic] puis A[pic]= PD[pic] P[pic] et enfin par un RPR tout aussi
classique : (A[pic])[pic]= P(D[pic])[pic] P[pic].
D[pic]=[pic] puis (D[pic])[pic]=[pic] et enfin (A[pic])[pic]=[pic]




2. 1°) (X[pic]=0,X[pic]=1,X[pic]=2) est un système
complet d'événements donc grâce à la
formule des probabilités totales on a :
P(X[pic]=0)=P(X[pic]=0/X[pic]=0)P(X[pic]=0)+
P(X[pic]=0/X[pic]=1)P(X[pic]=1)+ P(X[pic]=0/X[pic]=2)P(X[pic]=2)
soit P(X[pic]=0)=1 * [pic]+[pic]* [pic]+[pic]*[pic]=[pic]
de la même manière on trouve : P(X[pic]=1)= [pic] et P(X[pic]=2)=[pic].
2°) même chose qu'au 1°) mais avec le système
complet d'événements suivant : (X[pic]=0,X[pic]=1,X[pic]=2) et on trouve
les 3 formules suivantes :
P(X[pic]=0)=1*P(X[pic]=0)+[pic]*P(X[pic]=1)+[pic]*P(X[pic]=2)
P(X[pic]=1)=0*P(X[pic]=0)+ [pic]*P(X[pic]=1)+ [pic]*P(X[pic]=2)
P(X[pic]=2)= 0*P(X[pic]=0)+0*P(X[pic]=1) +[pic]*P(X[pic]=2)
Et on retrouve les coefficients de la matrice A[pic].
3°) un RPR donne U[pic]=(A[pic])[pic]U[pic]
4°) en remplaçant on obtient :
P(X[pic]=0)= 1 - [pic] + [pic][pic]1 quand k tend vers +[pic]
(car [pic]et [pic] tendent vers 0)
P(X[pic]=1)= [pic] - [pic] [pic]0 quand k tend vers +[pic]
P(X[pic]=2)= [pic] [pic]0 quand k tend vers +[pic]