Statistique et Probabilités

Estimation

Activité introductive
Lors d'une élection, deux candidats sont en lice : A et B. On procède à un
sondage (aléatoire, avec remise) auprès d'un échantillon de 1000 personnes.
52 % déclarent vouloir voter pour A.
1. Vous êtes journaliste, que devez-vous annoncer ?
2. Quelle doit être la taille minimale d'un échantillon pour qu'un
intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % ait une
amplitude maximale de 0,01 (1 %) ?
3. Quelle doit être la taille minimale d'un échantillon où est observée
une fréquence de 0,52 pour que le journaliste puisse annoncer au
niveau de confiance de 95 % que le candidat A sera élu ?


Exercices autour de l'estimation

Exercice 1 - Taux de satisfaction
Un opérateur téléphonique désire connaître la proportion de satisfaits
parmi le grand nombre de ses abonnés. Pour cela, il interroge 400 abonnés
choisis au hasard. Il constate que 345 sont satisfaits. Déterminer un
intervalle de confiance de la proportion d'abonnés satisfaits chez cet
opérateur, au niveau de confiance 0,95.

Exercice 2 - Qualité des pommes
Un supermarché vient de réceptionner une livraison de 2 tonnes de pommes
dont il veut contrôler la qualité. Pour cela, il prélève aléatoirement 200
pommes dans cette livraison ; 192 sont jugées de bonne qualité.

1. Déterminer un intervalle de confiance de la proportion de pommes de
bonne qualité dans cette livraison, au niveau de confiance de 95 %.


2. Déterminer le nombre minimal de pommes à prélever dans cette livraison
pour que l'amplitude maximale de l'intervalle de confiance, au niveau
de confiance 0,95, soit de 0,03.

Exercice 3 - Élection présidentielle
Lors du premier tour de l'élection présidentielle de 2002, le dernier
sondage publié par l'institut BVA effectué sur 1000 électeurs, qu'on
suppose choisis de manière aléatoire, prévoyait :
J. Chirac : 19 % ; L. Jospin : 18 % ; J.M. Le Pen : 14 %.
Les résultats ont été : J. Chirac : 19,88 % ; L. Jospin : 16,18 % ; J.M. Le
Pen : 16,86 %.

1. Déterminer pour chaque candidat l'intervalle de confiance au niveau de
confiance de 95 % de la proportion d'électeurs votant pour lui.


2. Ce dernier sondage permettait-il de classer les trois candidats, au
niveau de confiance de 0,95 ?

3. On considère le dernier sondage réalisé par l'institut IPSOS sur 1000
électeurs.
Il prévoyait : J. Chirac : 19,5 % ; L. Jospin : 17 % ; J.M. Le Pen :
13,5 %.
On considère qu'en regroupant les sondages BVA et IPSOS, on obtient un
échantillon de 2000 électeurs choisis aléatoirement.
À partir ce nouvel échantillon, déterminer pour chaque candidat
l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion
d'électeurs votant pour lui.

Exercices autour de l'égalité de deux proportions (Série STI2D)

Exercice 4 - Chaînes de fabrications
Une entreprise fabrique une grande quantité de Smartphones sur deux chaînes
de production situées dans deux ateliers.
On prélève au hasard avec remise 600 Smartphones sur chacune des chaînes et
on compte le nombre d'appareils conformes au cahier des charges.
On constate que :
- sur la première chaîne, 552 Smartphones sont conformes ;
- sur la seconde, 570 Smartphones sont conformes.

Peut-on conclure, au niveau de confiance de 0,95, que les deux chaînes
produisent la même proportion de Smartphones conformes ?

Exercice 5 - Placebo
Un laboratoire pharmaceutique veut tester l'efficacité d'un nouveau
médicament utilisé pour faire baisser le taux de cholestérol.
Pour cela, on administre à 300 patients (groupe A), choisis de manière
aléatoire, ce nouveau médicament, puis à 300 autres patients (groupe B),
choisis de manière aléatoire, un placebo sans principe actif.
Dans le groupe A, 234 patients ont vu leur taux de cholestérol baisser.
Dans le groupe B, 201 patients ont vu leur taux de cholestérol baisser.

Peut-on en déduire, au niveau de confiance 0,95, que ce nouveau médicament
est efficace ?

Exercice 6 - Effet d'une publicité
Une société d'assurance récemment arrivée sur le marché souhaite connaître
sa notoriété auprès des adultes. Elle interroge 2500 personnes âgées de 18
ans et plus, et constate que 342 personnes seulement connaissent son
existence.
Elle décide de lancer une campagne de publicité pendant un mois, à l'issue
duquel elle interroge à nouveau 2500 personnes âgées de 18 ans et plus. 445
personnes répondent alors qu'elles connaissent la société.

Peut-on en déduire, au niveau de confiance de 0,95 que la campagne de
publicité a été bénéfique ?