Première partie - Exercices corriges

N° d'ordre : 846
THÈSE
Présentée à
L'Université Bordeaux I
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR
Spécialité : Didactique des Mathématiques
par
Alain Mercier
L'élève et les contraintes temporelles de
L'enseignement, un cas en calcul algébrique
Soutenue le 18 décembre 1992, devant la commission d'examen
mm. M. Mendès-France. Professeur à l'Université Bordeaux I---------------
Président
J. Beillerot. Professeur à l'Université Paris X Nanterre
G. Brousseau. Professeur à l'IUFM de l'Académie de Bordeaux
J. Brun. Maître d'enseignement et de Recherche à l'Université de Genève
Y. Chevallard. Professeur à l'IUFM de l'Académie d'Aix-Marseille-----
Examinateurs
--1992--
L'élève et les contraintes temporelles de l'enseignement, un cas en calcul
algébrique
le temps du Système Didactique et le temps de l'Enseigné, la Biographie
Didactique d'un élève
Résumé
La thèse montre que les contraintes temporelles du fonctionnement
didactique induisent des apprentissages invisibles à l'enseignant. Ces
apprentissages n'assurent pas la progression didactique, mais ils jouent un
rôle important dans la réussite des élèves. Leur existence est établie par
l'observation d'épisodes didactiques au moyen de techniques d'approche
biographique originales. La méthode est appliquée à l'observation des
difficultés des élèves avec le calcul algébrique au Lycée, et à leur
explication.
Mots-clés
Algébrique (calcul) ; Biographie didactique (fragments de) ; Didactique
des mathématiques ; Dimension adidactique (d'une situation didactique) ;
Elève ; Institution didactique ; Rapport à un objet (de savoir ou
institutionnel) ; Temps (d'un système).
Cette thèse a été préparée dans le cadre du LADIST de Bordeaux, avec le
soutien et en collaboration avec l'IREM d'Aix-Marseille. Introduction Pour étudier l'élève, il faut observer des élèves : Delphine, Frédéric,
Solange et Danièle, Suzanne, Sabine, Denis et René, sont des élèves
particuliers qui donnent accès à la connaissance de l'élève ; ils sont en
Quatrième, en Seconde, en Terminale, en Première, des classes de
mathématiques particulières qui donnent accès à l'enseignement des
mathématiques ; ils entretiennent des rapports au calcul des limites, au
développement des réels dans une suite de base, aux inéquations comportant
des saleurs absolues, ou au calcul algébrique qui outille la géométrie, des
savoirs particuliers qui nous donnent accès à la copnnaissance du rapport
des élèves au savoir mathématique, à l'école. L'étude de l'élève est ainsi
un moyen de l'étude du didactique, que nous menons ici d'un point de vue
particulier sans oublier que c'est, le cas échéant, au niveau du savoir
général sur le didactique que la connaissance que nous produirons peut
montrer sa pertinence.
Enfin, les savoirs que produit la science du didactique lorsqu'elle
attaque la question des personnes, comme en général les savoirs des
sciences de l'homme lorsqu'elles tentent de penser la personne, découvrent
au terme d'une construction théorique difficile ce que chacun savait déjà :
que l'on n'est jamais trahi que par les siens lorsque l'on a du succès au
delà de leurs espérances ; que l'on ne peut pas épouser toute personne et
qu'il y a pour cela des interdits, des règles de conduite, des conditions
de succès et des contraintes ; que les interdits sur la nourriture sont des
déplacements de l'interdit du meurtre ; que les lapsus sont porteurs d'une
vérité ; que les petits enfants ont une sexualité ; que les paysans ne se
suicident pas par les mêmes moyens que les femmes ; que la valeur des
choses est créée par le travail humain qui les produit ; que la société
dépossède chacun de ce qu'il pourrait obtenir par la force pour donner à
tous le droit de propriété ; ou que l'on n'apprend en général pas si l'on
ne sait pas ce qu'il faut apprendre, et qu'il y a quelque chose à savoir.
Pourtant, le travail de transformation de ce que chacun peut reconnaître
comme sa connaissance personnelle des hommes et des choses en un savoir sur
les hommes et les choses, est bien le travail des sciences : elles
m :ontrent qu'il y avait là quelque chose à savoir, quand chacun trouvait
qu'il n'y avait là rien à apprendre de plus que ce que, justement, chacun
sait. L'adage nul n'est prophète en son pays -en son lieu ou en son temps-
a sans doute ce sens là, de montrer, faute de la différence par laquelle on
reconnaît qu'il y a en ce point, à la fois, quelque chose à savoir et un
savoir qui se propose, la nécessité d'un délai, du temps de la maturation
des questions, la nécessité d'une différance.
Faute de cette différance, le vocabulaire du domaine étudié -le
didactique- sera spécifié du qualificatif de didactique. Nous parlerons de
l'élève, sujet de la relation didactique. Soit, de l'enfant qui va à
l'école pour y vivre les effets d'une intention didactique. Nous étudions,
pour comprendre le fonctionnement de l'élève, à l'école, le temps des
systèmes didactiques par lesquels l'enseignement est produit -le temps qui
fait loi à l'intérieur de la classe- et la biographie didactique d'un élève
-constituée de ses rencontres avec des objets de savoir qu'il réussit ou
échoue à apprendre- afin d'accéder au temps de l'enseigné, sous-système du
système didactique -le temps des épisodes didactiques effectifs. Le
qualificatif de didactique, dans le cas de la biographie d'un élève comme
dans bien d'autres cas, est en quelque sorte redondant ; par exemple, si
l'élève est celui qui va à l'école (dans le cas qui nous intéresse, pour y
apprendre des mathématiques), la biographie de l'élève est la suite des
incidents constitutifs de son histoire d'élève (donc, à partir de sa
fréquentation de l'école, de son histoire relativement aux mathématiques) :
la biographie d'un élève est nécessairement didactique. Malgré cela et pour
des raisons de visibilité du savoir que nous aurons produit, il sera utile,
dans le cadre d'une thèse, d'insister sur l'aspect didactique des
observations, des objets, des notions que nous travaillerons et c'est
pourquoi la relation, l'intention, le système, le temps, la biographie, les
épisodes et beaucoup de notions encore seront, dans ce texte, didactiques.
La physique des bosons, les mathématiques des variétés affines, le
didactique des épisodes pour l'enseigné, doivent tout d'abord définir leur
objet d'étude. Impossible pour cela de « partir de zéro ». Ainsi, le
travail que nous présentons ne pouvait être pensé à l'origine de la
didactique des mathématiques, et les problèmes qui y sont soulevés
supposent l'existence d'un corps de doctrine déjà important et fortement
structuré. Dans le cadre de la didactique des mathématiques, les questions
relatives à l'élève sont encore nouvelles, alors que d'autres sciences
s'occupent depuis longtemps de problèmes apparemment semblables qui ont,
ailleurs, un nom et des solutions : la cognition et son corollaire
l'apprentissage ; les relations de la personne aux institutions et les
assujettissements correspondants - y compris dans le cas des institutions
de transmission des savoirs ; etc.
Les problèmes que nous posons et qui sont nouveaux pour nous ne sont
donc pas toujours posés comme il est d'usage et par exemple, ni les savoirs
mathématiques particuliers dont l'enseignement est étudié ni les personnes
que sont Delphine, Frédéric, Solange ou Sophie, ne sont vraiment (c'est-à-
dire, au sens de la culture comme au sens des sciences qui ont traité avant
nous de ces problèmes) présents dans le discours que nous tenons. Il nous
suffira qu'ils soient présents comme il leur est possible de l'être dans le
cadre de la science du didactique, lorsqu'il est question de
mathématiques[1].
Présentation
Pour permettre l'entrée progressive dans le problème, nous avons donc
choisi une organisation du texte qui ne respecte ni la progression
temporelle des études réalisées, ni l'ordre traditionnel d'exposition.
La première partie a en effet une fonction propédeutique. On y propose un
balisage du champ de la recherche à laquelle cette partie introduit en
proposant la mise en place d'un lexique pour le travail qui va suivre.
La deuxième partie a une fonction emblématique, car on y propose une
première étude du problème -à l'aide des notions clé pour ce travail
d'épisode didactique et de fragment de la biographie didactique d'un sujet
institutionnel- qui donne aussitôt quelques résultats de l'approche
biographique des phénomènes didactiques.
La troisième partie propose alors une première réalisation de ce qui a été
construit jusque là, en montrant ce que peut être l'observation
biographique d'un élève in situ, dans le cadre d'une classe de
mathématiques, les techniques d'observation biographique qui pourraient
être proposées, et l'extension de ce qu'il faut compter dans les savoirs
nécessaires à un élève de mathématiques, pour apprendre des mathématiques.
La quatrième partie conclut notre travail en proposant un première
exploration du domaine de validi