Bac maths S 1998 - Amérique du Nord

Bac S 1998 - Amérique du Nord Sujet incomplet - Exercice : probabilités - Problème : fonction logarithme. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word :
http://www.debart.fr/doc/bac_1998/bac_s_amerique_nord_1998.doc BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 1998
Épreuve: MATHÉMATIQUES Série: S Durée: 4 heures Coef. : 7 ou 9 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet. EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats : Probabilités Afin de créer une loterie, on met dans une urne n billets différents (n
supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants. 1. Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billets
dans l'urne.
a) On suppose ici n = 10. X désigne la variable aléatoire qui donne le
nombre de billets gagnants parmi les deux choisis.
Déterminer la loi de probabilité de X. (1 point)
b) On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3.
Calculer la probabilité, notée pn, d'avoir exactement un billet gagnant
parmi les deux choisis. (0,5 point) 2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne
en remettant le premier billet tiré avant de tirer le second.
a) On suppose ici n = 10. Y désigne la variable aléatoire qui donne le
nombre de billets gagnants parmi les deux choisis.
Déterminer la loi de probabilité de Y. (1 point)
b) On revient au cas général avec n supérieur ou égal à 3.
Calculer la probabilité, notée qn, d'avoir exactement un billet gagnant
parmi les deux choisis. (0,5 point) 3. a) Montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 3, on a :
[pic] (0,5 point)
b) En remarquant que, pour tout entier n, n - 2 est inférieur à n - 1,
déterminer un entier naturel n0 tel que, pour tout n supérieur ou égal à
n0, on ait pn - qn < 10-3.
(1 point)
c) Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de
cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer
l'un après l'autre en remettant le premier billet tiré ? (0,5 point)
PROBLEME (11 points) commun à tous les candidats On désigne par n un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les
fonctions, notées fn, qui sont définies pour x appartenant à l'intervalle
[0 ; +([ par :
[pic]. Partie A
* I. ­ Étude des fonctions fn 1. Calculer [pic] et montrer que l'on peut écrire le résultat sous la
forme d'un quotient dont le numérateur est n - 2 - 2n ln x. (0,75 point) 2. Résoudre l'équation [pic]. Étudier le signe de f 'n. (0,75 point) 3. Déterminer la limite de fn en +(. (0,25 point) 4. Établir le tableau de variation de la fonction fn et calculer sa valeur
maximale en fonction de n. (0,5 point)
II. ­ Représentation graphique de quelques fonctions fn Le plan est rapporté à un repère orthonormal [pic], (unité graphique : 5
cm).
On note (Cn) la courbe représentative de la fonction fn dans ce repère. 1. Tracer (C2) et (C3) (1 point) 2. a) Calculer fn + 1(x) - fn(x). Cette différence est-elle dépendante de
l'entier n ?
(1 point) b) Expliquer comment il est possible de construire point par point la
courbe (C4) à partir de (C2) et (C3). Tracer (C4). (1 point)
Partie B - Calculs d'aires 1. Calculer, en intégrant par parties, l'intégrale [pic] 2. En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine plan limité par les
courbes (Cn) et (Cn + 1) et les droites d'équations x = 1 et x = e.
(0,5 point) 3. On note An l'aire, en unités d'aire, du domaine plan limité par la
courbe (Cn) et les droites d'équations y = 0, x = 1 et x = e. a) Calculer A2. (0,25 point) b) Déterminer la nature de la suite (An) en précisant l'interprétation
graphique de sa raison. (0,5 point)
Partie C - Étude sur l'intervalle [1 ; +([ de l'équation fn(x) = 1. Dans toute la suite, on prendra n > 3. 1. a) Vérifier que, pour tout n, [pic]. (0,25 + 0,25 point)
b) Vérifier que l'équation fn(x) = 1 n'a pas de solution sur l'intervalle
[pic].
(0,5 point) 2. Montrer que l'équation fn(x) ' 1 admet sur l'intervalle [pic]exactement
une solution notée ?n. (0,5 point) 3. On se propose de déterminer la limite de la suite (?n).
a) Calculer [pic] et montrer que, pour [pic], on a [pic]. (0,25 + 0,5
point)
b) En déduire que, pour n > 8, on a [pic] et donner la limite de la suite
(?n).
(0,5 + 0,5 point)