Probabilités ESSI1

Probabilités ESSI1
Chapitre 4 : variables aléatoires continues
Exercice 4.11
La loi uniforme sur [a,b] a pour densité de probabilité f(x)=1/(b-a) pour
tout x de [a,b] et 0 ailleurs.
Vérifier que f est bien une densité de probabilité
Calculer l'espérance et la variance de la loi uniforme f(x) est bien positif ou nul, et son intégrale sur a,b est bien égale à 1
E[X]= [pic]
E[X2]= [pic]
Et donc Var(X)= [pic] Exercice 4.12
Entre 7h et 19h, un bus s'arrête tous les quarts d'heure à un certain
arrêt.
Un usager se présente entre 8h et 8h30 à cet arrêt, son heure exacte
d'arrivée suivant une loi uniforme sur cet intervalle
Quelle est la probabilité pour qu'il attende moins de 5mn ? Plus de 10 mn? Soit X le nombre de minutes qui s'écoulent entre 8h et l'heure d'arrivée de
l'usager. X est uniformément réparti sur l'intervalle [0,30].
L'attente de l'usager est de moins de 5 minutes, si X est dans [10,15] U
[25,30]. La probabilité qu'il attende moins de 5 minutes est donc égale à
[pic] De même la probabilité pour qu'il attente plus de 10 minutes est égale à [pic]
Exercice 4. 13 NB : cet e NB : cet exercice est hors programme cette année
On trace sur le sol des lignes parallèles équidistantes séparées de 10cm.
On laisse tomber au hasard une aiguille de la même longueur sur le sol. En
énonçant les hypothèses nécessaires, trouver la probabilité pour que
l'aiguille touche une des lignes. Supposons que les lignes soient verticales et séparées par une distance
d=10cm. Soit P le centre de l'aiguille, x la plus petite distance entre P
et une ligne verticale et ( l'angle faite par l'aiguille avec une ligne
horizontale. L'aiguille touche une ligne verticale si x < d cos (. Les
variables aléatoires x et ( sont indépendantes et équiréparties, x variant
entre 0 et d/2 et ( entre 0 et ?/2. On en déduit que les densités de
probabilité fx et f( satisfont fx (a) = 2/d et
f( (?) =2/ ? . La probabilité pour que l'aiguille touche une ligne
verticale est donc
P((