Correction_Sujet_S_2010.doc

CLASSES DE PREMIERES GÉNÉRALES
ET TECHNOLOGIQUES OLYMPIADES DE MATHÉMATIQUES
Académie d'AIX-MARSEILLE
Session 2010 Série S
CORRECTION
Exercice 1: 1. On constate que le motif se retrouve 6 fois dans la rosace. Donc l'angle
vaut 60°. 2. a. Première méthode :
Notons D le sommet tel que ACD soit rectangle en D.
La droite (AC) étant une bissectrice, on a donc [pic]. Donc [pic].
Et puisque [pic], le triangle BCD est donc équilatéral.
Ensuite, [pic], donc le triangle ABD est isocèle en B, d'où [pic].
Finalement, on trouve bien [pic]. Deuxième méthode :
On note R le rayon du grand cercle.
On applique une formule de trigonométrie : [pic], d'où [pic].
Puisque [pic], on obtient [pic].
Or [pic], d'où [pic]. Finalement [pic]. b. Notons E le centre du petit cercle et r le rayon de ce cercle.
En appliquant le résultat précédent, il vient que [pic]. De plus, [pic].
On obtient donc [pic], c'est-à-dire [pic]. 3. On doit avoir [pic], c'est-à-dire [pic], d'où [pic]. Puis [pic]. 4. Si [pic], alors l'autre côté du petit triangle vaut [pic]. Donc l'aire
du petit triangle est [pic]. D'autre part, on a : [pic], et l'autre côté du
grand triangle vaut [pic], donc l'aire du grand triangle vaut [pic]. La
partie noire à l'intérieur du triangle ACD s'obtient en retranchant au
grand triangle le petit, le secteur [pic] (où F est le point tel que AEF
est rectangle en F), et le secteur [pic].
Cette surface vaut donc [pic].
Il reste à multiplier par 12 pour obtenir l'aire totale : [pic].
Exercice 2: 1. Si x est le chiffre à ajouter à droite de la chaîne, on a que deux
possibilités :
9 + x - 4 = 0 ou 9 + x - 4 = 11 et seule la deuxième équation donne
une solution acceptable, qui est 6, puisqu'un chiffre est un entier
positif compris entre 0 et 9.
D'où la chaîne peut-être prolongée en : « 7 5 9 4 6 ». 2. Si on continue on obtient le chaînonze « 7 5 9 4 6 2 7 5 9 4 6 2
... ». La chaîne « 7 5 9 4 6 2 » se répète constamment. On sait 2010
divisible par 6, donc le 2010e terme est 2. 3. Pour « 0 9 » on obtient « 0 9 9 0 2 2 0 9 9 0 2 2 0 9 ». La chaîne
« 0 9 9 0 2 2 » se répète constamment.
Pour « 9 1 » on obtient « 9 1 3 2 » et le chaînonze est « bloqué »
car les équations [pic] et [pic] admettent comme solutions - 1 et
10 qui ne sont pas des chiffres.
4. On trouve :
a. Si [pic], le prolongement est « a b 0 » .
b. Si [pic], c'est impossible car les équations a + x - b = 0
et a + x - b = 11 donnent x = - 1 et x = 11- (a - b) = 10
qui ne sont pas des chiffres.
c. Si [pic], on a le chaînonze « a b (11- a + b) » avec (11
- a + b) qui est bien un chiffre car si a et b sont deux
chiffres où [pic], on a
- 10 < b - a < - 1 d'où 1 < 11 - a + b < 10.
d. Si a < b, « a b (b - a) » avec b - a est bien un chiffre
car 0 < b - a < 10.
Dans tous les cas, le prolongement est soit impossible (cas b = a - 1) soit
unique. 5. 1er cas : si a = b :
Si a = b = 0, on obtient « 0 0 0 0 ... » le chaînonze est 1-périodique
donc a fortiori 6-périodique.
Si a = b = 1, on obtient « 1 1 0 » et le chaînonze est fini de longueur
3.
Si a = b avec a > 1, on obtient « a a 0 (11 - a) (11 - a) 0 a
a ... » le chaînonze est 6-périodique sans blocage.
2e cas : a = b + 1 : la chaîne se bloque et est de longueur 2.
3e cas : a = 0 et b = 1 : « 0 1 1 0 » est le prolongement en un
chaînonze de longueur 4.
4e cas : 0 < a < b,
« a b (b - a) (11 - a) (11 - b) (11 + a - b) a b » est le
prolongement en un chaînonze 6-périodique ou se bloque d'après la
question précédente si
. b - a = b - 1, c'est-à-dire a = 1 et la chaîne est de longueur
3,
. 11 - b = 11 - a - 1, c'est-à-dire b = a + 1 et la chaîne est de
longueur 5.
5e cas : Si b = 0 et a > 1 :
le prolongement est « a 0 (11 - a) (11 - a) 0 a » et le chaînonze est
infini.
6e cas : Si a > b + 1 > 1 :
« a b (11 - a + b) (11 - a) (11 - b) (a - b) a b » le chaînonze
est 6-périodique ou se bloque si 11 - a = 11 - a + b - 1, c'est-à-dire b =
1 et la chaîne est de longueur 4. On résume tous les cas dans un tableau dans lequel figure 33 cas de blocage
et 67 cas fournissant des chaînonzes infinis et 6 périodiques. |a b |0 |
|2 |3,0103 |
|3 |4,7712 |
|4 |6,0206 |
|5 |6,9897 |
|6 |7,7815 |
|7 |8,4510 |
|8 |9,0309 |
|9 |9,5424 |
|10 |10 |
|100 |20 |
|1 000 |30 |
|1 000 000 |60 |
|[pic] |90 | 2. [pic].
3. [pic] équivaut à [pic] c'est-à-dire à [pic].
4. Pour tout nombre réel strictement positif y, [pic], c'est-à-dire
[pic]. Partie B. Application 1. D'après la partie A, pour tout réel [pic], [pic].
2. D'après la première partie, 60 dB correspondent à une intensité d'indice
1 000 000.
3. 110 dB correspondent à une intensité d'indice [pic].
4. Notons [pic] et [pic] les indices respectifs des intensités des machines
A et B.
[pic].
Dès lors, [pic] et [pic].
La machine A est deux fois plus bruyante ! Exercice 4: 1) a) Partant du point G sans revenir sur ses traces, les possibilités
sont les suivantes: AEFG - AEHG - AEFBCG - AEHDCG - AEFBCDHG - AEHDCBFG
ABCG - ABFG - ABCDHG - ABFEHG - ABCBHEFG - ABFEHDCG
ADHG - ADCG - ADHEFG - ADCBFG - ADHEFBCG - ADCBFEHG Il y a donc dix-huit chemins possibles au total. b) Il suffit de calculer la longueur de chacun des chemins précédents en
utilisant la dimension des arêtes. On trouve que les chemins les plus
courts ont tous une longueur de 20 mètres: ce sont les six chemins suivants
AEFG - AEHG - ABCG - ABFG - ADHG - ADCG c) La probabilité de choisir un des chemins les plus courts est [pic]. 2) Raisonnons sur un patron du pavé. On souhaite minimiser la distance
entre A et G en se déplaçant sur les faces de celui-ci, ce qui revient
à minimiser la distance entre les différents relevés de A (il y en a
au maximum trois car A appartient à trois faces) et de G (il y en a au
maximum trois aussi).
En choisissant par exemple le patron ci-dessous, on obtient un seul relevé
de A et deux relevés de G (notés G et G'). La distance la plus courte entre
deux points étant la ligne droite, il reste à comparer les longueurs des
segments [AG] et [ AG']. Le théorème de Pythagore correctement utilisé
montre que la longueur la plus courte est AG' et vaut dans ce cas
exactement [pic]. Flipeur ne disposera donc que d'un seul chemin possible minimisant la
distance de déplacement dans le cas où l'on se déplace sur les faces de la
pièce et la distance parcourue dans ce cas sera exactement de [pic] mètres. 3) Cette fois-ci, la distance la plus courte est la diagonale [AG] dans
le pavé droit. On calcule alors sa longueur avec le théorème de
Pythagore dans le triangle rectangle ACG pour trouver
[pic] mètres.