Exercices 2 - Free

Exercices 2. Lois de Newton. Théorème de l'énergie cinétique.
1. Particule sur un axe en rotation.
Un axe matériel Ox est animé par rapport à un axe vertical D faisant avec
lui l'angle ( d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire(.
Une particule M de masse m coulisse sans frottement sur Ox.
On désire déterminer la position d'équilibre Mo de M dans le référentiel
lié à la tige Ox.
On pose ( = (sin( . 1. Préciser le référentiel d'étude. Quel est alors le mouvement du
point M ?
2. Faire un bilan de forces. Préciser, si cela est possible, le
sens et la direction des forces envisagées.
3. Déterminer l'abscisse [pic] de la position d'équilibre en
appliquant la seconde loi de Newton.
[pic]
2. Pendule conique.
Une masse ponctuelle m = 2,0 kg est accrochée par une tige rigide de masse
négligeable de longueur
l = 1,5 m à un axe vertical qui tourne avec la vitesse angulaire ?
constante.
L'angle que fait la tige avec l'axe vertical est ? = 30°. On prend g =
10m.s-2. [pic]
1. Déterminer l'expression du vecteur accélération de la masse m en
fonction de ?, l et ?.
2. Déterminer la valeur de la vitesse angulaire ?.
3. Déterminer la valeur de la tension de la tige qui tient la masse
m.
4. Déterminer la valeur minimale ?0 de la vitesse angulaire qui
permet à la masse m de s'écarter par rapport à la verticale. 3. Mouvement d'une bille sur une sphère. Un solide de petites dimensions P, de masse m, assimilable à un point
matériel est placé au sommet A d'une sphère de rayon R = 1,0 m. On déplace
légèrement le point matériel de sorte qu'il quitte la position A avec une
vitesse que l'on considère comme nulle, puis glisse sans frottement le long
de la sphère.
[pic]
1. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, la position du
point étant repérée par l'angle ?, exprimer la valeur du vecteur
vitesse de P, en fonction de ?, avant qu'il quitte la sphère.
2. En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, exprimer
en fonction de ?, la valeur de la réaction exercée par la sphère sur
le point P.
3. En déduire l'angle ?, lorsque le point quitte la sphère, quelle
est sa vitesse en ce point ?
On prendra g = 10 m.s-2
4. Etude de la réaction d'un support. Un tremplin de saut à ski est constitué de deux parties rectilignes AB et
CD, et d'une partie circulaire BC, de centre O' et de rayon O'B = O'C = r.
La droite CD est inclinée d'un angle ? sur l'horizontale et on supposera
que l'arc de cercle BC est tangent en B à AB et en C à CD. On étudie le
mouvement d'un skieur S qui s'élance sur ce tremplin.
On appelle :
m la masse du skieur,
g l'accélération de la pesanteur,
z l'altitude de S par rapport au plan horizontal passant par D,
h celle de A,
[pic] la force exercée par le tremplin sur le skieur.
On néglige les frottements et le skieur est considéré comme ponctuel. [pic]
1. Etude de la vitesse du skieur.
Le skieur part de A sans vitesse initiale.
1.a En utilisant le principe de conservation de l'énergie pour le
système déformable (Terre, skieur), exprimer la vitesse v du skieur
en un point quelconque du tremplin en fonction de g, z et h. On
veillera à bien définir les différents états choisis.
1.b On donne : g = 10 m.s-2, h = 20 m, CD = 5 m, ? = 11°.
Calculer les valeurs vC et vD de la vitesse du skieur en C et en D. 2. Étude de la force.
2.a Préciser le sens et la direction des forces exercées sur le
skieur.
2.b Lorsque le skieur est situé entre C et D, exprimer la valeur R
de la force [pic] en fonction de m, g et ?.
2.c Lorsque le skieur est situé entre B et C, exprimer R en fonction
de m, g, r, v et ? (angle de [pic] avec la verticale).
2.d En comparant les expressions de R juste avant et juste après le
point C, déterminer si R varie de façon continue ou discontinue en
C. Calculer la discontinuité éventuelle sachant que :
g = 10 m.s-2, m = 80 kg, ? = 11°, r = 60 m,
la valeur de vC étant celle obtenue à la question précédente.
5. Jeu de fête foraine. Dans un stand de fête foraine, un objet (S), de masse m = 5 kg assimilable
à un point matériel, est placé sur des rails horizontaux de longueur AB.
Pour «tester sa force», une personne pousse cette masse avec une force
[pic] constante, horizontale pendant une durée t = 3 secondes.
[pic] 1.a Déterminer la nature du mouvement de (S) en supposant que (S)
glisse sans frottement sur les rails en partant de la position de
repos.
1.b Sachant qu'à la fin de la période de lancement (S) a une vitesse
égale à 6 m.s-1 calculer la valeur numérique de la force appliquée.
1.c Calculer la distance de lancement AB et le travail effectué par
la personne. Arrivé en B, (S) doit s'élever sur un plan incliné d'un angle ? = 30° par
rapport au plan horizontal.
2.a En supposant les frottements négligeables, et le plan incliné
suffisamment long, quelle longueur devrait parcourir l'objet (S) sur
le plan incliné jusqu'à ce que sa vitesse s'annule ? On prendra g
= 10 m.s 2.
2.b En réalité, on constate que (S) parcourt une distance BC = l1 =
3 m le long du plan incliné. En supposant que les frottements sont
équivalents à une force unique [pic] parallèle au plan incliné et
dirigée en sens contraire du vecteur vitesse[pic], calculer la
valeur de[pic]. A l'extrémité C du plan incliné BC, le mobile (S) aborde sans vitesse une
piste circulaire (CD) de centre B et de rayon l1 = BC = 3 m. La position de
l'objet (S) sur la piste circulaire CD est repérée par l'angle
? =[pic]. Les frottements seront négligés.
3. Exprimer en fonction de l1, ?, ? et g, la vitesse de (S) au
point M. Calculer cette vitesse pour
? = 20°. 6. Mouvement d'un pendule. Une masse ponctuelle m = 100 g est reliée à un point fixe O par un fil
inextensible, de masse négligeable et de longueur l = 0,75 m. On prend g =
10 m.s-2.
Le fil est écarté de sa position d'équilibre d'un angle[pic], puis la masse
est lancée vers le bas avec la vitesse [pic]perpendiculaire au fil.
[pic]
A une date t quelconque, la position de la masse m est repérée par l'angle
? que forme le fil avec la position d'équilibre. 1. Déterminer l'expression de la valeur de la vitesse de la masse m
à une date t en fonction de v0, g, l, ?0, et ?.
2. Exprimer la valeur T de la tension du fil en fonction de m, v0,
l, g, ?0, et ?.
3. Déterminer la valeur minimale de v0, notée v0 min, pour que la
masse fasse un tour et que le fil reste tendu. 7. Le cascadeur. Un cascadeur veut sauter avec sa voiture sur la terrasse horizontale EF
(voir croquis) d'un immeuble.
Il utilise un tremplin BOC formant un angle ? avec le sol horizontal ABCD
et placé à la distance CD de la maison (OC et DE sont des parois
verticales).
[pic]
On prendra g = 10 m.s-2.
La masse de l'automobile et du pilote égale une tonne.
On étudiera le mouvement de l'ensemble assimilable à son centre d'inertie
G.
Pour simplifier le problème, on considèrera les frottements inexistants
dans la phase aérienne et on admettra qu'à la date initiale le centre
d'inertie G quitte le point O avec la vitesse [pic] et qu'il est confondu
avec le point E à l'arrivée.
1. Etablir dans un repère ([pic]) (voir croquis : Ox parallèle à
CD) l'équation de la trajectoire du centre d'inertie G ente O et E.
2.a Calculer la vitesse initiale v0 en m.s-1 et km.h-1 et l'angle ?
pour que le système arrive en E avec un vecteur vitesse horizontal.
Données : CD = 15 m, DE = 10 m, OC = 8 m.
2.b Calculer la vitesse vE à l'arrivée de l'automobile en E.
3. Considérant qu'une fois l'automobile sur la terrasse, les
frottements sont équivalents à une force constante [pic] parallèle
au déplacement et d'intensité 500 N, calculer l'intensité de la
force de freinage [pic]'qui permettra au véhicule de s'arrêter après
un trajet EF = L = 100 m.