TD meca Q 1 00/01

Université Pierre et Marie Curie
M1 PGA & SDUEE Année 2007-2008

Physique quantique appliquée
Travaux dirigés n° 9 : Perturbations stationnaires : CORRIGE

Exercice n°1 :
L'Hamiltonien total s'écrit donc :
H = H0 + W avec H0 = -? Sz et W = A[pic]


W=[pic]

H0 possède trois valeurs propres :
[pic] et -[pic]non dégénérées
et 0 dégénérée deux fois.
Déterminons les perturbations au premier ordre pour chaque valeur propre :
* On pose : E0 = [pic] valeur propre non dégénérée [pic]
La perturbation au premier ordre en énergie s'écrit :
E1 = [pic]
[pic]
Au final, on a au premier ordre :
H[pic]= E[pic]
Avec
E = E0 + E1 = [pic][pic]
Et [pic]
* On pose : E0 = -[pic] valeur propre non dégénérée [pic]
La perturbation au premier ordre en énergie s'écrit :
E1 = [pic]
[pic]
Au final, on a au premier ordre :
H[pic]= E[pic]
Avec
E = E0 + E1 = -[pic][pic]
Et [pic]
* On pose : E0 = 0 valeur propre dégénérée dont une base du sous-espace
propre associé est : [pic]
La matrice de W restreinte à ce sous-espace propre est :
[pic]
Cette matrice 2x2 possède deux valeurs propres :
0 associée au vecteur propre [pic]
et A[pic]associée au vecteur propre [pic]

Au final, on a au premier ordre :
H[pic]= E[pic]
Avec
Soit E = [pic] et [pic]
Soit E = 0 et [pic]
Rappel : par un calcul exact dans la base standard, nous avions obtenus les
niveaux d'énergie du système, on retrouve les mêmes résultats par le calcul
de perturbation.
[pic]



Exercice n°2


1- H0 = [pic] Jz2 + [pic] Jz
On a : [pic] avec m = -1, 0 ou 1
[pic]
[pic]
[pic]
Trois cas sont donc possibles :
* soit A [pic]B, alors l'Hamiltonien a trois valeurs propres non dégénérées
* soit A = B, A+B est valeur propre non dégénérée et 0 est dégénérée deux
fois
* soit A = -B , A-B est non dégénérée et 0 est dégénérée deux fois

2- On considère un Hamiltonien H1:
H1 = [pic]
Avec J? = Jx sin ? cos ? + Jy sin ? sin ? + Jz cos ?
On prend la base dans l'ordre suivant : [pic]
H1=[pic]


3- On suppose B = A et ? ' ?/2 ; ? ' 0[pic]
. H1=[pic]
* On pose : E0 = A+B valeur propre non dégénérée [pic]
La perturbation au premier ordre en énergie s'écrit :
E1 = [pic]
[pic]
Au final, on a au premier ordre :
H[pic]= E[pic]
Avec
E = E0 + E1 = A+B
et [pic]
* On pose : E0 = 0 valeur propre dégénérée dont une base du sous-espace
propre associé est : [pic]
La matrice de H1 restreinte à ce sous-espace propre est :
[pic]
Cette matrice 2x2 possède deux valeurs propres :
[pic]associée au vecteur propre [pic]
et [pic] associée au vecteur propre [pic]
Au final, on a au premier ordre :
H[pic]= E[pic]
Avec
Soit E = [pic] et [pic][pic]
Soit E = [pic] et [pic][pic]

4- On suppose maintenant B = 2A.
L'Hamiltonien H0 a trois valeurs propres non dégénérées : 3A, 0 et -A.
Le niveau fondamental correspond à E0 = 0 de vecteur propre [pic].
La perturbation au premier ordre en énergie s'écrit :
E1 = [pic]
[pic]
Au final, on a au premier ordre :
H[pic]= E[pic]
Avec
E = E0 + E1 = 0
et [pic]