Exercice 2 Le saut à l'élastique (5 points)

Le saut à l'élastique « Rite initiatique ancestral pratiqué sur l'île de la Pentecôte, dans
l'archipel de Vanuatu au c?ur du Pacifique, le saut dans le vide avec les
chevilles attachées est devenu un sport extrême. »
D'après http://www.saut-elastique.com À l'origine, les jeunes gens sautaient du haut d'une tour seulement retenus
par une liane. De nos jours, les amateurs de sensations fortes plongent,
souvent du haut d'un pont, équipés d'un « élastique » en latex ; un «
élastique » est en réalité constitué d'un assemblage de 1000 à 2000 fils
ronds en latex extrudé.
L'observation d'un saut peut conduire à se poser quelques questions :
Quelle est la vitesse du sauteur quand l'élastique le rappelle la première
fois ? Pendant combien de temps, le sauteur oscille-t-il ? etc.
Des mesures expérimentales peuvent, certes, y répondre mais l'utilisation
d'un modèle peut aussi permettre de prévoir les réponses. C'est modestement
ce que propose cet exercice...
1. Première phase du saut à l'élastique. Un peu d'adrénaline... Considérons la première phase d'un saut à l'élastique, lorsque un sauteur
et son équipement, de masse m = 84,0 kg, se laisse tomber sans vitesse
initiale d'un pont dont le plateau se trouve à une hauteur
h = 270 m du sol. On peut considérer que le volume du sauteur et de son équipement est : V =
0,25 m3. Par ailleurs l'ensemble des actions exercées par l'air, outre la
poussée d'Archimède, sur le sauteur peut être modélisé par une force de
frottement dont la valeur f est proportionnelle au carré de la vitesse
acquise : f = µ.v2 où µ = 0,78 unité SI.
Données:
Masse volumique de l'air : ( = 1,3 kg.m(3
Accélération de la pesanteur : g = 9,8 m.s(2 1. Montrer qu'il est légitime de ne pas prendre en compte la poussée
d'Archimède, en comparant sa valeur à celle du poids du système S,
constitué par le sauteur et son équipement. On négligera donc cette
poussée dans tout ce qui suit.
2. À partir d'une analyse dimensionnelle, déterminer l'unité avec laquelle
s'exprime la constante µ, dans le Système International.
3. Écrire, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la seconde loi
de Newton appliquée au système S.
4. Que devient cette relation vectorielle projetée sur un axe vertical Ox
orienté vers le bas ?
5. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la vitesse vx(t) au
cours de cette première chute et vérifier qu'elle est de la forme
:[pic] où A et B sont deux constantes.
6. Avec quelles unités s'expriment A et B ? Déterminer A et B en fonction
des données et vérifier que B = 9,3.10(3 unité SI. 7. En déduire l'expression de la vitesse limite vlim (en fonction de m, g
et µ) puis calculer sa valeur.
8. La résolution de l'équation différentielle établie précédemment est
obtenue par la méthode numérique itérative d'Euler. Un extrait de la
feuille de calcul est représenté ci-dessous. Date t (s) |0,00 |0,20 |0,40 |0,60 |0,80 |1,00 |1,20 |... | |Vitesse
vx(m.s(1) |0,00 |1,96 |3,92 |5,85 | |9,60 |11,4 |... | |
1. Quel est le pas (t utilisé pour effectuer les calculs de vx(t) ? 2. La méthode d'Euler permet de prévoir, par le calcul, l'évolution de
la composante vx de la vitesse du système S au cours du temps. La
détermination de vx(ti+l) est possible si celle de vx(ti) est connue
en appliquant la relation[pic]
Déterminer par le calcul, la vitesse vx(t =0,80 s) absente du
tableau. 2. Deuxième phase du saut à l'élastique. À partir de la date t = 5,0 s, le sauteur remonte sous l'action de
l'élastique puis oscille verticalement pendant 40 s, effectuant 4 allers et
retours. 1. Comment qualifie-t-on de telles oscillations ? Justifier. Calculer
le temps caractéristique T associé aux oscillations et le nommer.
2. Si on assimile l'élastique à un ressort de raideur k relié à une
masse m, quelle est l'expression de la période propre T0 des
oscillations libres ?
3. Calculer la valeur de T0 et interpréter la différence observée
entre les valeurs de T et T0. Donnée: k = 38,0 N.m(1.