Exercice : (Caen 96) - Dimension K

Exercice : (Caen 96)
1) Construire un triangle ABC tel que :
AB = 3,5 cm ; AC = 5 cm ; BC = 4 cm.
2) Construire le point D tel que [pic].
3) Construire le point E symétrique de B par rapport à C.
4) Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ? Justifier la réponse. Correction:
1)
2)[pic]
donc C milieu de [AD].
3) E symétrique de B par rapport à C
donc C milieu de [EB].
4) D'après 2) et 3), le point C est le milieu
des segments [BE] et [AD].
Ces segments sont les diagonales
du quadrilatère ABDE.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors
c'est un parallélogramme.
Donc ABDE est un parallélogramme.
Exercice : (Scandinavie 95)
RST est un triangle équilatéral de 4 cm de côté.
U est le point tel que :[pic].
l. Faire une figure en vraie grandeur.
2. Quelle est la nature exacte du quadrilatère RSUT ? Justifier la réponse. Correction:
1) [pic] donc le quadrilatère RSUT est un parallélogramme.
2) RSUT est un parallélogramme d'après 1).
On RT = RS car le triangle RST est équilatéral.
Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un
losange.
Donc le quadrilatère RSUT est un losange.
Remarque: ce ne peut pas être un carré puisque l'angle au sommet R est de
60°. Exercice : (Clermont 98)
Sur la figure ci-après, on a mis en place un triangle BDS ainsi que le
milieu I du segment [SD]. Les constructions demandées dans cet exercice
seront faites sur cette figure. l. a) Construire le point H, symétrique du point B par rapport à I.
b) Démontrer que [pic].
2. Construire le point R, image du point D dans la translation de vecteur
[pic].
3. Démontrer que le point D est le milieu du segment [HR]. Correction:
1) a) b) I est le milieu du segment [SD].
H est le symétrique de B par rapport à I donc le point I est aussi le
milieu du segment [HB].
Ces segments se coupent en leur milieu et ce sont les diagonales du
quadrilatère SBDH.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors
c'est un parallélogramme.
Donc SBDH est un parallélogramme.
On a alors [pic]. 2) Le point R est l'image de D par la translation de vecteur [pic]alors le
quadrilatère SBRD est un parallélogramme: ce qui nous donne la méthode de
construction du point R. 3) D'après 2), on a [pic] et d'après 1) b), on a [pic].
Ces deux égalités donnent [pic].
Par suite, le point D est le milieu du segment [HR]. Exercice : (Polynésie 99)
ABC est un triangle isocèle en A et [AH] est la hauteur issue de A.
On donne AH = 4, BC = 8.
1. Construire le triangle ABC en vraie grandeur.
2. Construire le point A1, image de A par la translation de vecteur [pic] .
3. Construire le point A2, symétrique de A par rapport à la droite (BC).
4. a) Démontrer que AA1 = AA2.
b) Calculer l'angle [pic].
c) En déduire une double propriété du triangle A2AA1. Correction:
1) ABC est isocèle en A donc la hauteur issue de A est aussi une médiane du
triangle donc H est le milieu du segment [BC] avec HB=HC=HA.
2) Le point A1 est l'image de A par la translation de vecteur [pic]alors le
quadrilatère ABCA1 est un parallélogramme: ce qui nous donne la méthode de
construction du point A1. 3) On doit avoir (BC) médiatrice du segment [AA2] or la droite (AH) est
perpendiculaire à la droite (BC) donc le point A2 est sur la droite (AH)
avec HA2=4.
4) a) On a H milieu du segment [AA2] donc AA2 = 2AH = 8.
D'après 1), le quadrilatère ABCA1 est un parallélogramme.
Un parallélogramme a ses côtés opposés de même longueur donc, en
particulier, AA1=BC=8.
On a donc AA1 = AA2.
b) D'après 1), le quadrilatère ABCA1 est un parallélogramme.
Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles. En particulier, les
droites (AA1) et (BC) sont parallèles.
De plus, la droite (BC) étant la médiatrice du segment [AA2], les droites
(BC) et (AA2) sont perpendiculaires.
Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est
perpendiculaire à l'autre.
Ici, les droites (AA1) et (AA2) sont donc perpendiculaires donc A2ÂA1 = 90°
.
c) Avec 4) a), le triangle A2AA1 est isocèle en A et d'après 4) b),
il est rectangle en A.
Donc le triangle A2AA1 est isocèle et rectangle en A. Remarque: le quadrilatère ABA2C a ses diagonales se coupant en leur milieu
H, même longueur et sont perpendiculaires : il s'agit d'un carré et le
triangle ABC est donc aussi rectangle et isocèle en A.
Exercice :
L'unité de longueur choisie dans le plan est le centimètre.
On considère un triangle ABC tel que : AB = 7 ; AC = 5 ; BC = 4.
1) Construire le triangle ABC en vraie grandeur sur votre copie.
2) Construire le point M image du point C par la translation de vecteur
[pic].
3) Construire le point N tel que [pic]. Correction:
1)
2) Le point M est l'image de C par la translation de vecteur [pic]alors le
quadrilatère ABMC est un parallélogramme: ce qui nous donne la méthode de
construction du point M. 3)
[pic]
Donc BANC est un parallélogramme ce qui fournit la construction du point N. Exercice : (Japon 97)
L'unité est le centimètre.
On donne un triangle ABD tel que AB = 5, AD = 6 et BD = 7.
1) Construire le point E image du point A par la translation de
vecteur [pic].
2) Construire le point F tel que [pic].
3) Montrer que D est le milieu de [EF]. Correction:
1) Le point E est l'image de A par la translation de vecteur [pic]alors le
quadrilatère BDEA est un parallélogramme: ce qui nous donne la méthode de
construction du point E.
2) [pic] donc BFDA est un parallélogramme ce qui permet de construire le
point F:
3) BFDA est un parallélogramme donc BA=FD et les droites (BA) et (FD) sont
parallèles.
D'après 1), BDEA est aussi un parallélogramme d'où BA =DE et les droites
(BA) et (DE) sont parallèles.
Par un point, il passe une seule droite parallèle à une autre : ici, les
droites (FD) et (DE) passent par le point D et sont toutes deux parallèles
à la droite (BA). Elles sont donc confondues ce qui signifient que les
points F, D et E sont alignés.
De plus on a FD=BA=DE donc FD=DE.
Ces deux derniers résultats permettent d'affirmer que le point D est le
milieu du segment [EF]. Exercice : (Afrique2 95)
1) Placer trois points A, D et C non alignés et construire le point B tel
que [pic].
2) La parallèle à (AC) passant par B coupe (AD) en E et (DC) en F.
Démontrer que [pic] et que [pic].
En déduire que B est le milieu de [EF].
3) On note O le point d'intersection des diagonales du parallélogramme ABCD
et O' son symétrique par rapport à B.
Démontrer que[pic].
Correction:
1)
[pic]
Cette dernière relation permet d'affirmer
que le quadrilatère CBAD est
un parallélogramme :
on a la construction du point B.
2) Puisque CBAD est un parallélogramme, ses côtés opposés sont parallèles
donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
Or, le point E appartient à la droite (AD) donc les droites (AE) et (BC)
sont parallèles.
Par construction, les droites (EB) et (AC) sont aussi parallèles donc ACBE
est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles: ACBE est un
parallélogramme.
On a alors : [pic]
De même, on montre que ACFB est un parallélogramme ce qui donne [pic]
Ces deux égalités entraînent l'égalité suivante : [pic]
On en déduit que le point B est le milieu du segment [EF].
3) Le point O' est le symétrique de O par rapport à B donc le point B est
le milieu du segment [OO']. D'après 2) le point B est aussi le milieu du
segment [EF].
Or les segments [OO'] et [EF] sont les diagonales du quadrilatère EOFO'.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors
c'est un parallélogramme.
Donc EOFO' est un parallélogramme.
Par suite, on a : [pic]
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C A B D E T R S U B D I S H D I S H B R C A B H H A1 B A C A2 C B A C B A M C B A M N D B E A D B E A F D C A B E F O O'