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PS26 PRINTEMPS 2010

MEDIAN (première partie) : Cours 40 mn
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Dans cette partie de cours vous devez rédiger par des phrases très claires
et très précises. Sauf à la question 3 ou ce n'est pas nécessaire, on fera
systématiquement un schéma. La notation tiendra grandement compte de la
qualité et de la précision des explications et du schéma.

Question 1 : Rappeler l'expression de la loi de Coulomb donnant la force
d'interaction entre deux charges ponctuelles en précisant bien la
signification de tous les termes intervenant dans la formule notamment.

Question 2 : Définir ce qu'on appelle « ligne de champ électrostatique ».
Dessiner l'allure des lignes de champ électrostatique dans un condensateur
plan (on rappelle qu'un condensateur plan est formé par 2 plaques planes
infinies uniformément chargées parallèle entre elles et chargées de signes
contraires).

Question 3 : Quelle est l'énergie potentielle d'une particule ponctuelle de
charge q placée dans un champ électrostatique ?

Question 4 : Définir de façon mathématique la densité linéique de charges
pour un corps filiforme.

Question 5 : Enoncer très clairement le théorème de Gauss en précisant bien
la signification de tous les termes intervenant dans la formule. Dans quel
cas ce théorème est-il intéressant pour calculer un champ électrostatique ?

Question 6 : Donner le principe et l'intérêt pratique d'une cage de Faraday
(on ne demande pas de démontrer les propriétés de la cage).

Question 7 :

1. Définir ce qu'est un dipôle électrostatique et donner la
définition du moment dipolaire d'un dipôle électrostatique.
2. Expliquer pourquoi une boule métallique conductrice initialement
neutre et placée dans un champ électrique extérieur uniforme va
devenir équivalente à un dipôle électrostatique (faites des
schémas).
3. Expliquer pourquoi une molécule de CO pourra être considérée
comme un dipôle électrostatique mais pas une molécule N2.

Question 8 : Définir ce qu'on appelle la polarisation électronique d'un
atome. Expliquer pourquoi si on applique un champ électrostatique très
important à un atome, il va s'ioniser : donner des exemples naturels de
tels phénomènes en précisant bien.


Question 9 : Donner l'expression de la force de Lorentz donnant la force
exercée par un champ magnétique sur une particule chargée en mouvement en
précisant la signification des termes intervenant dans la formule.

Question 10 : Donner l'expression de la force de Laplace donnant la force
exercée par un champ magnétique sur une portion de circuit électrique
filiforme d'extrémités A et C placé dans un champ magnétique quelconque
(pas forcément uniforme).

Question 11 : Enoncer la loi de Biot et Savart qui donne le champ
magnétique créé par un fil électrique parcouru par un courant en un point
de l'espace extérieur au fil.
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MEDIAN (deuxième partie) : Exercices 80 mn
Polycopié autorisé
On traitera obligatoirement les exercices 1 et 2 et au choix
l'exercice 3 ou l'exercice 4

Exercice n°1 (obligatoire): Champ électrostatique d'une ligne électrique
bifilaire.

On montre que le potentiel électrostatique V(x,y,z) créé en un point M de
l'espace par un fil rectiligne infini uniformément chargé avec une densité
? (lambda) et confondu avec l'axe 0z d'un système de coordonnées
cartésiennes classique est donné par la formule:

[pic]

1. Justifier le fait que le potentiel ne dépende pas de z.
2. Déterminer la forme des surfaces équipotentielles (rappel : on
travaille en 3D !). Indication : que représente géométriquement
x²+y² ?
3. Calculer le champ électrique en un point M quelconque en
coordonnées cartésiennes.
4. Montrer que ce champ peut se mettre sous la forme [pic]où H est
la projection orthogonale de M sur le fil et k une grandeur
qu'on exprimera en fonction de ?, ?0 et r, distance du point M
au fil. En déduire que la direction de ce vecteur champ
électrique passe par le fil.
5. Retrouver le résultat précédent en utilisant la question 2 et
une propriété des équipotentielles.
6. Exprimer alors le champ électrique en coordonnées
cylindropolaires mieux adaptées au problème. Faire un schéma
très clair.
7. Une ligne électrique bifilaire est formée de deux fils infinis
parallèles entre eux et distants de d. L'un des fils est chargé
avec une densité linéique ? et l'autre avec une densité opposée
- ?. On se propose de déterminer le champ électrique en tout
point du plan médiateur des deux fils.
a. Montrer qu'en tout point M de ce plan le champ est
parallèle au plan formé par les deux fils. Faire un schéma
très clair.
b. Exprimer la norme de ce champ électrique en fonction de ?,
d, ?0 et r (distance commune aux deux fils).

Exercice n°2 (obligatoire): On rappelle que le champ électrostatique créé
par un plan infini uniformément chargé est donné par la formule : [pic],
où[pic] est le vecteur unitaire normal fuyant le plan et ? la densité
surfacique de charge. Dans un accélérateur de particules, on dispose l'une
en face de l'autre, deux plaques de surfaces S, parallèles entre elles,
séparées d'une distance e. L'une des plaques porte une charge Q > 0 et
l'autre une charge - Q. Des particules identiques de masse m et de charge q
sont émises du point O centre de la première plaque avec une vitesse
quasiment nulle. Accélérées par le champ électrique des deux plaques, les
particules vont sortir du dispositif par le trou O' situé au centre de la
deuxième plaque avec une vitesse v. On admettra que le champ électrique
créé par une plaque de dimension finie est le même que si la plaque était
infinie pourvu que e ne soit pas trop grand. L'axe OO' servira d'axe des x
d'un système de coordonnées cartésiennes.

1. Quel doit être le signe des particules émises en O pour que ces
particules soient accélérées vers l'autre plaque.
2. Déterminer le champ électrique total entre les deux plaques en
fonction de Q, S, ?o et d'un vecteur unitaire judicieusement choisi
qu'on précisera très clairement sur un schéma.
3. En déduire (à partir du gradient) le potentiel électrostatique entre
les deux plaques en fonction de Q, S, ?o et x abscisse cartésienne
d'un point M situé entre les deux plaques. On prendra le potentiel
arbitrairement nul sur la plaque x = 0.
4. En déduire la différence de potentiel U entre les deux plaques en
fonction de Q, S, ?o et e.


Pour la suite de l'exercice on cherche à calculer avec quelle vitesse et
en combien de temps les particules vont sortir du dispositif
accélérateur. On négligera le poids des particules devant la force
électrostatique.


5.
a. En appliquant les lois de Newton en déduire l'accélération [pic]
d'une particule en fonction de Q, S, ?o , q, m (masse de la
particule) et d'un vecteur unitaire judicieusement choisi qu'on
précisera très clairement sur un schéma.
b. En intégrant l'équation précédente, déterminer la vitesse [pic]
d'une particule en fonction de Q, S, ?o, m, t (temps écoulé
depuis l'émission de la particule) et d'un vecteur unitaire
judicieusement choisi qu'on précisera très clairement sur un
schéma.
c. En intégrant l'équation précédente, déterminer le vecteur
position [pic] d'une particule en fonction de Q, S, ?o, m , t
(temps écoulé depuis l'émission de la particule) et d'un vecteur
unitaire judicieusement choisi qu'on précisera très clairement
sur un schéma.
d. En déduire le temps ? que la particule met pour traverser le
dispositif. On exprimera ? en fonction de e, ?o, m, S, Q et q.
e. En déduire la vitesse de la particule à la sortie du dispositif
en fonction des mêmes variables puis en fonction de q, U et m.


6. On se propose de retrouver ce dernier résultat par une méthode
utilisant l'énergie.
a. Exprimer l'énergie potentielle électrostatique de la particule
quand elle est à l'abscisse x en fonction de q, Q, S, x et ?o.
b. Quelle est l'énergie mécanique de la particule quand elle est en
O ?
c. En utilisant la conservation de l'énergie mécanique et les
questions précédentes, retrouver le résultat de la question 5.e.

7. Application numérique : les particules sont des protons de masse m =
1.7 10-27 kg, de charge q = 1.6 10-19 C. Ils sont accélérés sous une
tension de 10 kV. Calculer la vitesse en sortie du dispositif.
[pic]Exercice n°3( au choix avec le n°4): Un condensateur sphérique est
formé par une boule pleine métallique de rayon R1, portant une charge Q et
une sphère creuse métallique de rayon R2 > R1 et de même centre que la
précédente. Cette deuxième sphère porte une charge - Q et est reliée à la
terre dont le potentiel est conventionnellement nul.
1. Déterminer par des considérations de symétrie la direction du champ
électrostatique entre les deux armatures du condensateur ainsi
formé.
2. En utilisant le théo