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Un P.E.R. sur la similitude qui débute par le théorème de Thalès en
quatrième
_________________________________________ Equipe didactique de l'IREM d'Aix-Marseille
Sommaire
Cadre général et motivation des choix didactiques 1
Considérations générales 1
Une brève analyse 2
Nos propositions 3
La proposition de direction de l'AER 4
Première étape : Que dire de triangles vérifiant des conditions sur
leurs angles ? 4
Deuxième étape : Expérience et déduction : recherche du plus grand
triangle 7
Troisième étape : Similitude des triangles et proportionnalité des
longueurs 11
Quatrième étape : Ecrire le théorème de Thalès 13
Cinquième étape : Recherche d'une preuve du théorème de Thalès dans
quelques cas particuliers. 14
Sixième étape : Recherche d'une réciproque du théorème de Thalès dans le
cas du rapport [pic] 21 Cadre général et motivation des choix didactiques Considérations générales Dans le premier alinéa du programme de 4e de 1998, concernant la géométrie
et inchangé sur ce point en 2005, on trouve, sous l'intitulé « triangles »
et dans cet ordre, les paragraphes « milieux et parallèles », puis
« triangles déterminés par deux droites parallèles coupant deux sécantes ».
C'est toujours dans cet ordre que les manuels présentent les deux leçons,
et c'est un usage très fréquent chez les enseignants.
Le choix de cette progression ne trouve son origine que dans une
transposition didactique s'appuyant sur l'idée qu'il est plus facile
d'étudier d'abord le particulier pour arriver ensuite au général. Dans le
cas du théorème de Thalès, une assez bonne familiarité des élèves avec la
notion de milieu d'un segment engage à étudier d'abord le cas particulier
de la droite des milieux des côtés d'un triangle. Du point de vue de
l'enseignant, ce choix est renforcé par le fait que - comme le soulignent
les commentaires du programme- cette propriété fournit une occasion de
démonstration à la portée des élèves de quatrième, en utilisant les
connaissances enseignées en cinquième sur la symétrie centrale et le
parallélogramme. Il en est de même pour la réciproque de cette propriété.
C'est seulement après que ces deux propriétés ont été proprement
démontrées, qu'on présente la propriété dite de Thalès comme une
généralisation de la propriété dite des milieux ; on peut en démontrer
quelques cas très particuliers. Enfin, on présente des applications de la
propriété de Thalès sur quelques exercices de calcul de distances
inaccessibles.
On voit assez bien comment les raisons qui motivent l'étude de ces
propriétés ne sont pas transparentes pour l'élève puisqu'il n'a l'occasion
de les rencontrer que lors des derniers exercices d'application du
chapitre. Certains élèves saisiront peut-être alors l'occasion d'une
première rencontre avec le problème et feront pour eux-mêmes le parcours
d'étude à l'envers... Beaucoup d'autres, nous en sommes convaincus,
considèreront une fois de plus que les maths, « on les fait parce qu'on
nous dit de les faire », ou on y renonce...
Une brève analyse Nous sommes tout d'abord partis à la recherche de raisons qui pourraient
motiver que l'on s'intéresse, tant de l'intérieur des mathématiques que du
point de vue d'élèves de 4e, à l'étude du théorème de Thalès « dans les
triangles ». On peut voir ce théorème comme se rapportant, dans des cas
particuliers, à de problèmes « d'agrandissements et réductions » comme
l'écrivent les programmes de 4e et 3e, quoique la rencontre avec de tels
problèmes ait eu lieu bien avant ; sans doute dès l'école primaire, en tout
cas dès l'étude du thème des échelles en 6e. Au-delà de ce que le programme
appelle « agrandissements et réductions », se trouve la notion de
similitude ; à ce propos, D. Hilbert note, dans Les fondements de la
géométrie, que le théorème de Thalès est le « théorème fondamental de la
similitude ». Le problème didactique posé peut donc devenir celui de
l'organisation de la rencontre des élèves avec le concept de similitude, de
telle manière que l'étude du théorème de Thalès soit vécue dans le travail
de la classe comme une nécessité pour répondre à une ou des questions
relevant de la similitude ; notamment de celle des triangles. Partir ainsi
d'une question générant davantage de mathématiques que celles issues du
seul théorème induit deux conséquences didactiques.
L'ordre de la progression traditionnelle - d'abord la droite des milieux,
ensuite le théorème de Thalès - est inversé. On rencontre d'abord la notion
de triangles semblables, au cours de laquelle on étudie expérimentalement
les relations entre longueurs des côtés. On réduit la propriété observée à
l'énoncé de la propriété de Thalès en conformité avec le programme. À la
suite de cette étude, la rencontre avec la propriété « parallèles et
milieu » est vue comme preuve très partielle du théorème, dans le cas du
rapport [pic]. Ce cas établi, on peut alors le démontrer dans d'autres cas
particuliers (rapports [pic], etc.), et nous nous en contenterons ; c'est
une manière courante en mathématiques dont une illustration tient par
exemple dans l'histoire de la démonstration du théorème de Fermat. Dans une
institution didactique, le professeur peut attester de la validité du
savoir, garantie par une autre institution mathématique que celle de la
classe ; on dira donc que l'on admet le théorème lorsque le rapport est
quelconque. Enfin on énoncera et démontrera la réciproque, dont un cas
particulier est appelé « propriété de la droite des milieux ».
La question étant relative à une notion mathématique de plus grande ampleur
- la similitude -, elle a un fort pouvoir générateur d'étude. Elle pourra
ainsi se décliner sous forme de reprises du travail de la question, dans un
parcours d'étude et de recherche courant sur plusieurs années : les
« agrandissements-réductions » en 4e et 3e, les « triangles de même
forme », comme les désigne le programme de 2de, l'homothétie en 1re S et
enfin les similitudes, directe et inverse, en Terminale.
Nos propositions La question initiale, posée aux élèves, porte sur l'étude des triangles en
fonction de leurs angles : que peut-on dire de deux triangles qui ont un
même angle, deux angles, les trois angles ? Des triangles de ce type ayant
été construits par les élèves, il s'agit ensuite de les observer et les
« comparer » ; autrement dit d'évaluer leur degré de... similitude. Pour
cela, et afin de les « transporter », l'utilisation du papier calque est
nécessaire.
Nous donnons ci-dessous les grandes lignes de l'organisation didactique que
nous avons conçue et qui a servi de support aux séances passées dans
plusieurs classes de 4e. Cette présentation intègre les éléments d'analyse
a posteriori qui nous ont conduits à modifier quelques-unes des parties. Si
l'on demande à quoi sert le théorème de Thalès, il est fort probable que la
réponse donnée par les élèves ayant vécu cette situation évoque la
détermination de longueurs de segments, ceux des côtés d'un triangle, qui
étaient hors de portée d'une mesure, et que cela correspond à un cas
particulier de triangles semblables. Une autre des dimensions que cette
proposition de début de PER tente d'atteindre est la conduite des élèves
vers une rencontre avec la puissance du modèle mathématique dans sa
confrontation à l'expérience : le modèle prédit les longueurs des côtés
d'un « grand » triangle, c'est alors le modèle qui prédit comment doit être
la réalité ! Des exercices à la maison relatifs aux distances inaccessibles
trouvent alors leur sens, de même qu'a alors plus de chances d'en prendre
l'enseignement des mathématiques... Comme indiqué dans les lignes qui ont
précédé, l'étude se poursuivra au Collège par la rencontre avec le théorème
dans d'autres configurations, sa réciproque et les agrandissements /
réductions, puis au Lycée par les cas de similitude, l'homothétie et les
similitudes directe et inverse en tant que transformations. On dispose
ainsi d'une esquisse de PER concernant les mathématiques de programmes
s'étalant sur cinq à six années, et dont l'étude peut être relancée par des
questions génératrices amenées par le professeur, en liaison avec les
questions précédemment étudiées. La proposition de direction de l'AER Dans la présentation qui suit, les commentaires destinés à
l'enseignant sont en caractères différents -comme ceux-ci- et en
retrait.
Temps : 0
Titre du chapitre : Des triangles...
(On n'annonce évidemment pas le théorème de Thalès ou la droite des milieux
afin que les élèves ne se précipitent pas sur des résultats dans les
manuels, en cours particulier ou autre) Première étape : Que dire de triangles vérifiant des conditions sur leurs
angles ?
P devra avoir prévu une feuille de papier calque format A4 par élève,
ou mieux, du transparent et des feutres effaçables. Il est important
d'avoir un format au moins A4, et que P n'incite pas les élèves à
économiser le papier, par exemple en plaçant les dessins dans telle
partie du papier : ainsi, dans les groupes, les élèves, selon leurs
habitudes, dessineront des triangles de tailles différentes, ce qui
favorisera l'émergence de la notion d'agrandissement / réduction. Si
le format du papier est petit, tous les triangles auront des côtés
dont les longueurs auront des mesures du même ordre de grandeur et les
relations de pro