réponses

Agrégation Interne 1999
Corrige des Exercices d'électronique Exo n°1 :
Millmann sur l'entrée - : [pic], diviseur de tension sur l'entrée + :
[pic]. AO idéal : [pic]. Exo n°2 :
1. Appelons i3 & i4 les courants circulant respectivement dans les
résistances R3 & R4. On a :
[pic] car i+ = 0, [pic] en appelant S1 la sortie du premier AO, le diviseur
de tension donne : [pic], & le théorème de Millmann à l'entrée - donne :
[pic], d'où : [pic], en traduisant que : V+ = V-. On reporte alors dans i3,
ce qui conduit à :
[pic]ou encore : [pic], & donc io sera indépendant de X si tous les termes
en X se détruisent, soit : [pic], d'où on déduit : [pic], & donc [pic], &
la résistance à mesurer X est alimentée par un générateur idéal de courant
fournissant le courant io proportionnel à la tension Ve. 2. Sur le second AO : V+ = X.io = V- = V1, soit: [pic], indépendant des
résistances Ro & R'o. 3. L'AO3 est intégrateur, donc : [pic] car [pic]. On a une fonction
croissante de t. Si t = T1, [pic], puis on intègre e, soit :
[pic], & on a une fonction décroissante de t. D'où l'allure de la courbe.
4. [pic], soit : [pic]. En pratique, R1 = R2, & [pic], d'où [pic], &
les chiffres apparaissant sur l'afficheur correspondent à X (à une
puissance de 10 près, étalonnage). Si T2 = k.To, le chronomètre affiche k
(quasi - entier car T2 >> To) & donc à une puissance de 10 près, les
chiffres affichés correspondent à la valeur numérique de X. Exo n°3 :
1. On appelle M le n?ud entre C & les deux résistances. L'AO fonctionne en
ampli inverseur, donc [pic], & on écrit le théorème de Millmann au point
M : [pic] d'où la fonction de transfert : [pic], donc de la forme [pic].
On reconnaît donc un filtre passe-bas du premier ordre, de pulsation de
coupure [pic] & de gain maximal [pic].
Contrôle :
En HF, la capacité court-circuite le signal d'entrée, donc [pic]
En BF, la capacité ne joue plus, on a un ampli inverseur de gain [pic]
2. Diagramme de Bode : aucune difficulté. Exo n°4 :
1. On écrit deux fois le théorème de Millmann :
[pic]
Diviseur de tension : [pic]. On a donc le système :
[pic] Par élimination dans la seconde relation, on obtient :
[pic], ou [pic], d'où on déduit la fonction de transfert complexe : [pic].
2.[pic] équation dans le corps des complexes d'où :
[pic] alors [pic]. Le montage est alors un oscillateur (appelé « phase-
shift ») de pulsation propre [pic]. On a une chaîne bouclée avec (
sommateur (car [pic]), donc la fonction de transfert vaut [pic] car [pic]. Exo n°5 :
1. En régime linéaire : [pic] & on élimine Vs entre ces deux relations :
[pic] & le dipôle est donc équivalent à la résistance négative [pic].
2. En régime non linéaire : alors [pic] & la loi d'Ohm aux bornes de la
résistance [pic] conduit à la loi : [pic].
La caractéristique est alors donnée par la courbe suivante, où la valeur i1
correspond à la commutation : alors [pic].
La tension s'annule pour la valeur [pic].
3.a. Régime linéaire : [pic] car le générateur est le condensateur qui se
décharge. On dérive & on en déduit : [pic][pic]
3.b. Régime non linéaire : [pic]. On en déduit :
[pic].
4. On cherche une équation [pic] pouvant rendre compte des deux types de
fonctionnement. Il faut satisfaire les conditions : [pic], donc on cherche
une loi de la forme : [pic], & il reste à déterminer K par la première
condition, soit :
[pic] & on obtient alors :
[pic]. On dérive, ce qui donne :
[pic]
une équation différentielle du type Van der Pol : [pic] Exo n°6 :
1. iS étant nul, on retrouve la tension Vs aux bornes de la branche (L -
C). Le diviseur de tension donne alors : [pic], soit : [pic], forme
standard.
2. Alors : [pic], avec : [pic]. Si x tend vers zéro ou l'infini, X tend
vers zéro & donc f tend vers 1. Il existe donc un extremum de f si X² est extremum, soit : [pic] extremum,
donc maxi (& infini) pour xo = 1. Alors f = 0. D'où l'allure de la
courbe, & on reconnaît un filtre coupe - bande, ou réjecteur parfait
(arrête le signal de pulsation (o).
3. Aux frontières de la BP : [pic] d'où [pic], soit :
[pic], d'où on déduit :
[pic] puis : [pic], soit [pic] cohérent.
4. AN : [pic]
D'où : [pic]
5.Diviseur de tension en V - : V - =Us.H , le quadripôle Q étant
symétrique. Puis :
[pic], soit : [pic], ce qui donne : [pic] .
6. Avec les notations de l'énoncé :
[pic], soit :
[pic] car µo >> 1. Soit enfin : [pic].
* si [pic] : [pic], [pic] ;
* si [pic] : [pic]. Il existe donc un extremum entre les deux. Si g
extremum, X² extremum : X = 0 redonne les deux asymptotes, donc il reste X²
infini soit : [pic], alors [pic]. 7. [pic] [pic] car µo >> 1, ce qui conduit à l'équation du second degré :
[pic], où l'on a posé Q' = µoQ. L'équation est formellement analogue à
celle de la question 3, il suffit donc de remplacer Q par Q'. On obtient :
[pic], puis : [pic].
AN : Q' = 40.104 = 4.105 ! ! [pic]. Le circuit obtenu est un filtre passe-
bande très sélectif . D'où l'allure de la courbe (pas à l'échelle).
Exo n°7 :
1. Théorème de Millmann au point A :
[pic]. AO idéal, donc i+ = 0, & on écrit le diviseur de tension au point
B :
[pic], & on remplace dans la relation précédente :
[pic] . On regroupe :
[pic], d'où on déduit :
[pic], soit aussi :
[pic], donc de la forme :
[pic] avec les notations de l'énoncé. 2. Le numérateur correspond au terme du dénominateur dominant si [pic],
donc en basse fréquence, & donc il s'agit d'un filtre passe-bas du second
ordre. Le module de la fonction de transfert est donné par : [pic].
3. Pour [pic], on trouve la fréquence de coupure [pic], avec [pic]. On
lit : [pic]D'où la bande passante : [pic] en kHz.
Pour [pic], on lit [pic], puis [pic]. D'où la bande passante : [pic] en
kHz.
. Si [pic] on a : [pic]. On a aussi (valeur lue sur la courbe, traduisant
la surtension) : [pic], redonnant le même résultat. Enfin si on revient à
la fonction de transfert complexe, traduite en régime transitoire avec
[pic], on a :
[pic], de la forme : [pic] d'où :
[pic] Il y a donc résonance, & la courbe présente un maximum accentué à la
fréquence de résonance fo. . Si [pic] le même raisonnement conduit à [pic] Il n'y a donc plus de
résonance, & la courbe décroît de façon monotone. 4. On envisage successivement les deux valeurs de ( :
. Si [pic] le filtre se comporte comme un passe-bas, de bande passante
[pic] en kHz. Il en résulte que seul le fondamental ([pic]), de fréquence
f = 5 kHz appartient à la BP. Alors :
[pic]. On en déduit module & argument :
[pic] & [pic]. D'où le signal de sortie : [pic]. . Si [pic] le filtre se comporte comme un passe-bande, de bande passante
[pic] en kHz. Il en résulte que seul l'harmonique 3 ([pic]) de fréquence
f = 15 kHz appartient à la BP. Alors :
[pic]. On en déduit module & argument :
[pic] & [pic]. D'où le signal de sortie : [pic]. -----------------------
[pic]