fiche.doc

Matrices
4H de cours et 5H de TD Objectifs : 1. Ecriture de matrices Exercice Ecriture de matrices
1- Soit n[pic](*. Dessiner la matrice [pic] dans les cas suivants :
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
2- Savez-vous lire les matrices suivantes ? Ecrivez-les en choisissant
une taille précise.
[pic]
[pic] [pic] Déterminer si ces matrices sont carrées, si elles ont une taille
particulière, si leurs description est suffisamment précise.
2. Exercices de niveau 1 Exercice produits
Quand c'est possible, calculer le produit [pic].
1- [pic], [pic]
2- [pic], [pic]
3- [pic], [pic] Exercice inversion
Dans chaque cas dire si la matrice A est inversible, et, quand c'est le
cas, calculer son inverse.
1- [pic]
2- [pic]
3- [pic] Exercice rang
Calculer le rang des matrices suivantes :
1- [pic]
2- [pic]
3- [pic]
4- [pic]
3. Polynômes annulateurs Exercice polynôme annulateur
On pose [pic].
1- Ecrire A sous la forme [pic] puis calculer les puissances successives
de N.
2- En déduire [pic] pour n[pic](. Exercice Soit ma matrice [pic].
1- Calculer A2 et A3.
2- En déduire les puissances successives de A.
3- A est-elle inversible ?
(
4. Matrice d'une application linéaire Exercice matrice d'une application linéaire
Soient f et g deux applications linéaires définies par :
[pic] et [pic]
1- Déterminer la matrice [pic] dans chacun des cas suivants :
a) B et C sont les bases canoniques respectives de [pic] et [pic].
b) [pic] et C est la base canonique de [pic].
c) [pic] et [pic].
2- Déterminer l'expression de [pic] A l'aide de leurs expressions,
puis retrouver ce résultat à l'aide de leurs matrices.
3- Même question pour [pic]. Exercice matrice d'une application linéaire
On considère l'espace vectoriel E=(3[X] et l'application f définie par
[pic].
1- Montrer que f est un endomorphisme de E.
2- Déterminer Kerf et Imf.
3- Quelle est la matrice de f dans la base canonique de E. Montrer
qu'elle est inversible. Exercice On considère les fonctions [pic] et [pic] définies par [pic](
[pic] et [pic].
Soit E={?f1+?f2, (?,?)[pic](2}.
1- Montrer que E est un espace vectoriel réel de base [pic].
2- Soit [pic] l'application définie par [pic]. Montrer que [pic] est un
endomorphisme de E, puis déterminer sa matrice M dans la base B.
3- En écrivant [pic], calculer [pic] pour tout n[pic](.
4- En déduire la dérivée nème de la fonction : [pic]
5. Changements de base Exercice changements de base
Soit E un (-espace vectoriel de dimension [pic] muni d'une base [pic].
On considère l'endomorphisme f de E dont la matrice dans la base B est
[pic].
1- Montrer que f est une bijection.
2-
a) Trouver des réels ? et ? tels que [pic].
b) En déduire que f -1 est une combinaison linéaire de f et [pic].
Ecrire la matrice de f -1 dans B.
c) Montrer que, pour tout n[pic](, il existe des réels [pic] et
[pic] tels que [pic].
3- On pose [pic], [pic] et [pic].
a) Montrer que B'=(v1, v2, v3) est une base de E.
b) Ecrire f(v1) f (v2), f (v3) dans la base B. En déduire
directement la matrice A' de f dans la base B'.
c) Ecrire la matrice P de passage de la base B à la base B'.
Quelle égalité relie A et A' ?
d) Calculer P-1.
e) Ecrire u = 2el + 3e2 - e3 dans la base B' et u' = -vl + 2v2 + v3
dans la base B.
4- Pour n[pic](, déterminer la matrice (A')n, puis trouver l'expression
de [pic] et [pic]. Exercice changements de base
Soit E un espace vectoriel de dimension 3.
Soit B=(i, j, k) une base de E.
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est A=[pic]. Soient el,
e2 et e3 les vecteurs de E dont les coordonnées dans la base B sont
respectivement [pic], [pic] et [pic].
1- Vérifier que B' = (el, e2, e3) est une base de E.
2- Donner la matrice A' de f dans B', une première fois en utilisant
l'expression de f dans les bases, et une deuxième fois en utilisant la
formule de changement de base.
3- Soit N=[pic]. Calculer Nk pour k[pic](. En déduire la valeur de Ak.
6. Réduction Exercice réduction
Soit f l'endomorphisme de (3 dont la matrice dans la base canonique et M =
[pic].
1. Soit (x, y, z) [pic] (3. Déterminer f (x, y, z).
2. Calculer M2. Que peut-on en déduire pour f? Déterminer une base de
l'image et une base du noyau de f .
3. Vérifier que l'image et le noyau de f sont supplémentaires dans (3.
4. Soit el = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0) et e3 = (1,1,1). Ecrire la
matrice N de f dans la base (el, e2, e3).
5. Caractériser géométriquement f. Exercice puissance de matrice
Soit E un (-espace vectoriel de dimension 3, et B = (el, e2, e3) une base
de E. Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = [pic].
1. Déterminer une base de l'image et une base du noyau de f.
2. On pose u = el + e2.
(a) Montrer que B' = (u, f(u), f2(u)) est une base de E.
(b) Quelle est la matrice T de f dans cette base ?
3. Calculer T2 et T3. En déduire Mn pour tout entier naturel n non
nul.
7. Ensembles de matrices Exercice Soit E l'ensemble des matrices carrées d'ordre trois à
coefficients réels de la forme :
[pic]
où a, b et c sont des réels.
a- Trouver trois matrices I, J, K de E, indépendantes de a, b, c
telles que toute matrice de E s'écrive sous la forme M(a;b;c) = aI + bJ +
cK.
b- Montrer que E muni de l'addition des matrices et de la
multiplication par un scalaire est un sous-espace vectoriel de M3(().
Quelle est sa dimension ?
c- Calculer J², J.K, K.J, K². Exercice une algèbre de matrices
On considère le sous-ensemble de M3(() suivant:
F = [pic]
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M3((). En déterminer
une base et donner sa dimension.
2. Montrer que F est une sous-algèbre de M3(().
3. On pose Ml = [pic] et M2 = [pic]. Calculer [pic] , [pic] , M1M2 et
M2M1. En déduire [pic] et [pic].pour tout entier naturel n.
4. Montrer que (Ml, M2) est une base de F et donner l'écriture d'un
élément quelconque de F dans cette base.
5. En déduire Mn pour tout entier naturel n et tout élément M de F. Exercice trace
On appelle trace d'une matrice carrée la somme de ses coefficients
diagonaux.
1. Calculer la trace de la matrice [pic].
2. Soit n [pic] (*. Montrer que l'application trace est une forme
linéaire sur Mn(().
3. Montrer que [pic](A, B) [pic] Mn((), Tr(AB) = Tr(BA). En déduire
que deux matrices semblables ont la, même trace. La réciproque est-elle
vraie?
4. Soit E un (-espace vectoriel de dimension finie et p un projecteur
de E. Montrer que Tr(p) = rg(p).
5. Soient E un ( -espace vectoriel et f et g deux endomorphismes de E
vérifiant :
f[pic]g-g[pic]f = IdE. Démontrer que E n'est pas de dimension finie.
Donner un exemple.
8. Applications Exercice faire des manteaux avec des matrices
Une entreprise fabrique des manteaux. Ces manteaux sont composés de tissu
rouge, de tissu bleu, et d'une doublure noire. Le tableau suivant résume la
quantité de chaque tissu nécessaire à la confection du manteau en tailles
S, M et L. |Taille|S |M |L |XL |
|Tissu |0,4|0,5|0,6|0,7|
|rouge |m² |m² |m² |m² |
|Tissu |1m²|1,1|1,2|1,3|
|bleu |] |m² |m² |m² |
|Doublu|1,5|1,7|1,9|2,1|
|re |m² |m² |m² |m² | Chaque tissu est tissé à l'aide plusieurs types de fil : coton, polyester,
et polyamide. Le tableau suivant résume les longueurs de fil de chaque type
nécessaire par mètre carré de tissu. |Tissu |roug|ble|doublu|
| |e |u |re |
|Coton |500m|400|1000m |
| | |m | |
|Polyami|1000|900|700m |
|de |m |m | |
|Polyest|500m|600|0 |
|er | |m | | Questions :
1. L'entreprise veut produire a manteaux taille S, b manteaux taille
M, c manteaux taille L et d manteaux taille XL. Quelle quantité de fil de
chaque catégorie doit-elle commander? Répondre à cette question dans le
langage des matrices.
2. En fin d'année, l'entreprise veut écouler entièrement ses stocks de
fils. Il lui reste 100 000 m de coton et de polyamide, et 20 000m de
Polyester. Peut-elle transformer entièrement ses stocks de fils en
manteaux? Exercice Etude de l'évolution d'une population
On cherche à modéliser l'évolution d'une population au cours du temps. Pour
cela on la divise en trois tranches d'âge: les jeunes de 0 à 20 ans, les
adultes de 20 à 40 ans, et les seniors de plus de 40 ans.
On suppose que le taux de fécondité est de 1 enfant par adulte et par an,
et que le taux de mortalité est de 5% chez les jeunes, 10% chez les adultes
et 15% chez les seniors.
On suppose de plus que la population des jeunes et des adultes est homogène
en âge, et que donc, chaque année [pic] des jeunes deviennent adultes et
[pic] des adultes deviennent seniors. On notera Jn le nombre de jeunes à l'année n, An le nombre d'adultes et Sn
le nombre de seniors.
1. Soit n [pic] (. Exprimer Jn+l, An+1 et Sn+1 en fonction de Jn, An
et Sn.
2. Vérifier que: [pic](, [pic], où M = [pic].
3. Si, en 2009, la population est composée de 105 jeunes, 105 adultes
et 2.105 seniors, quelle sera la composition de la population en 2010?
4. Montrer qu'il existe un réel ?, qu'on déterminera, tel que:
[pic]
On suppose que J0 = 25.105, A0 = 5.105 et S0 = 105. Calculer Jn, An et Sn
pour tout entier naturel n. Est-ce que la population totale augmente?
5. Exprimer la composition de la population à l'an n en fonction de sa
composition à l'an 0 et en fonction de M.