Première partie : outils

Correction de TD7: Transformée en z en temps discret


(TROP LONG, J'AI SAUTÉ LA QUESTION 3, ON PEUT SUPPRIMER ÉGALEMENT LES
PROCESSUS GÉNÉRATEURS DE LA QUESTION 2 A, BIEN DÉFINIR IMPULSION
DISCRETE ET SA TZ, Z=EXP(TP), LA DISTINCTION ENTRE DISCRET ET
ÉCHANTILLONNÉ, ...)


Première partie : outils


Signal discret, signal bloqué, signal échantillonné :

Tracer le signal causal [pic]et rappeler sa transformée de Laplace [pic].
Etablir l'expression du signal discret[pic]si on échantillonne[pic]aux
instants [pic]avec [pic].
Représenter le signal [pic]obtenu en passant[pic]dans un échantillonneur
bloqueur de période [pic]. On définit le Bloqueur d'Ordre Zéro (BOZ) de
période [pic]à partir de [pic]sa réponse impulsionnelle ([pic]est l'échelon
de Heaviside). Quelle est la fonction de transfert[pic]de BOZ ?
Quelle est la transformée de Laplace du signal échantillonné [pic] ?
Déduire la transformée de Laplace de [pic]. Comparer la transformée en z
[pic] du signal discret[pic]avec[pic].

















% en Matlab
>> t= 0 :.5 :3 ;
>> s= 2*exp(-2*t) ;
>> plot(t,s)
>> stem(t,s)
>> stairs(t,s)
>> grid






[pic]
[pic]
[pic] fonction de transfert du BOZ
[pic], d'où la transformée de Laplace [pic]si [pic]convergence vers [pic]
[pic]en transformant cette chaîne étape par étape, il vient
[pic], on retrouve une suite d'impulsions de hauteur [pic]pour la nième et
de largeur [pic], dont le terme général de la somme exprimé avec la
variable de Laplace est [pic], échelon d'amplitude [pic]débutant en
[pic]moins échelon de même amplitude débutant en [pic] ...
[pic]et [pic]sont d'ordre 1, la constante de temps vaut [pic] et le pôle
discret vaut [pic] c'est en fait [pic]


Transformée en z :

A. Calculer [pic] dont on représentera l'allure temporelle. Appliquer les
théorèmes des valeurs initiale et finale. Montrer que les valeurs[pic],
[pic], décrivent un régime transitoire exponentiel. Relier le temps de
réponse à 5% de ce transitoire au pôle [pic] et à [pic].
Donner deux manières de générer le signal [pic].
Appliquons la formule des résidus à la quantité [pic] il y a deux résidus,
soient :
[pic]
Pour [pic], [pic], pour [pic], [pic], entre ces deux limiltes, un régime
exponentiel en [pic], soit [pic]ou encore [pic]avec [pic]
Le théorème de la valeur finale donne : [pic], [pic] donne [pic]
Processus générateurs de [pic], supposons qu'on a inversé une réponse
impulsionnelle, la quantité inversée était en fait une fonction de
transfert en z, quelle en était alors l'équation aux différences associée ?
Il suffira de présenter une impulsion discrète à l'entrée de ce processus ?
on rappelle que l'impulsion discrète est un signal nul partout sauf en
[pic] où il vaut 1. On retrouve facilement la transformée en z de
l'impulsion discrète (fonction de Kronecker) qui vaut 1 (appliquer
définition de Tz). Seconde possibilité, [pic]étant la transformée de
l'échelon discret, on peut également programmer un échelon à l'entrée du
processus d'équation [pic]

B. Etudier le processus discret d'équation paramétrée[pic], d'entrée
[pic]et de sortie[pic]. Calculer la réponse indicielle associée, et
étudier l'effet des deux paramètres [pic]et[pic]sur la stabilité, le gain
statique et la constante de temps. Comment choisir [pic]et[pic]pour
obtenir un temps de réponse de [pic]environ et un gain statique de
[pic]si la fréquence d'échantillonnage vaut [pic] ?
La fonction de transfert vaut [pic], la réponse indicielle est [pic]
soit par la formule des résidus [pic], on en déduit l'allure et le gain
statique qui est [pic], la constante de temps se déduit de [pic]comme dans
l'exercice précédent, [pic], il y a stabilité dés que [pic], Pour les
valeurs demandées, il suffit de fixer [pic]et [pic]soit [pic]
Notons le cas particulier où [pic], le processus se comporte alors comme un
retard d'une période d'échantillonnage , si [pic], le processus répond
alors à une entrée présentée en la recopiant « pile » après une période
d' échantillonnage.


Fonction de transfert en z :

A. le filtre suivant est donné par une équation aux différences comportant
3 paramètres [pic] :
[pic]. Calculer la fonction de transfert[pic]et la réponse impulsionnelle
[pic]. Décrire la relation d'entrée sortie du filtre par un produit de
convolution.

La transformée en z de [pic] à conditions initiales nulles et en prenant
[pic]et [pic]pour transformées de la sortie [pic]et de l'entrée [pic]donne
[pic]soit [pic]
Le terme [pic]au dénominateur est un retard d'une période
d'échantillonnage, essayons d'inverser [pic]dans [pic], il suffira ensuite
de remplacer [pic]par [pic]dans le résultat obtenu.
Or, [pic] donne par transformation inverse (cf. table de transformée en z)
[pic], pour le premier terme et [pic] pour le second à partir de [pic](
retard appliqué à un terme de la table). En résumé, pour D(z), c'est
[pic], [pic], et [pic]pour [pic]
Si on donne un signal [pic]causal à l'entrée, connaissant la réponse
impulsionnelle causale également [pic], la relation d'entrée sortie
permettant de calculer [pic]est [pic]


B. le filtre correcteur proportionnel intégral dérivé (ou pid) ci-dessous
est donné par une fonction de transfert, avec trois paramètres [pic]. Les
paramètres étant par exemple ici [pic] quelle est l'équation aux
différences à programmer pour réaliser ce filtre discret ?
[pic]
Mettons [pic] sous la forme d'une fraction rationnelle en [pic], et nommons
[pic] et [pic]les transformées de la sortie et de l'entrée , c'est
[pic] d'où l'équation aux différences
[pic]

Deuxième partie : problème

Etudier l'asservissement de la sortie [pic]du processus discret d'entrée
[pic]d'équation [pic] au moyen d'une loi proportionnelle de gain [pic] :
[pic], la période d'échantillonnage vaut [pic]. Que dire de la valeur[pic]
(réponse pile) ?
La commande en boucle ouverte du processus est-elle envisageable ?
Comment se traduit l'apparition d'un retard pur [pic]dû au calcul : [pic] ?

La fonction de transfert est [pic]pour le processus seul, une petite étude
rapide montre que c'est un équivalent discret de l'intégrateur en temps
continu, donc instable au sens ebsb et difficile à commander.

Ajoutons la loi de commande [pic], le système bouclé obtenu ainsi aura la
fonction de transfert [pic], quelle en est la réponse indicielle si [pic],
on trouve [pic]pour [pic]. On voit apparaître un gain statique unité ainsi
qu'un régime exponentiel ou un régime sinusoïdal amorti selon les cas,
petite étude intéressante à faire selon la valeur du pôle [pic] :
Voir les cas [pic] = -2, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 2, il existe à chaque
fois une valeur de [pic] possible et le comportement est assez facile à
évaluer parce qu'il s'agit de puissances de 2.
On peut également associer les comportements au lieu du pôle [pic]
En particulier [pic]est très intéressant, et typique des systèmes discrets,
l'asservissement répond pile en une période d'échantillonnage à l'échelon
présenté, ou à n'importe quelle entrée d'ailleurs.
Dans le cas d'un retard de [pic]dans le calcul de [pic]la fonction de
transfert de l'asservissement devient [pic], c'est maintenant un second
ordre discret, qui suivant les valeurs de [pic]va présenter des réponses
apériodiques ou sinusoïdales amorties, par exemple, le cas [pic]précédent
est alors la limite d'instabilité au lieu de la réponse pile. Le gain
statique vaut 1, soit une erreur statique nulle. Essayer le cas [pic]qui
donne le régime critique, un pôle double en [pic]
Le lieu des pôles est également facile à tracer
Et à discuter
[pic]limite d'instabilité
[pic]racine double
[pic]racines réelles stables