C - Mathématiques | Académie de Dijon

Coups de projecteur sur le programme - Exercices



Ce document est un document de travail distribué à des professeurs
enseignant en spécialité « Mathématique » de la série L. Il a été élaboré
en vue des journées d'information sur les nouveaux programmes de cette
série, organisées en novembre 2006 par l'Inspection Régionale de
Mathématiques de l'Académie de Dijon. Il s'agit d'un recueil d'exercices
regroupés autour de quelques objets du programme : la logique,
l'algorithmique, les nombres et l'arithmétique, et enfin les perspectives
géométriques. Ces sujets ont été choisis soit pour leur nouveauté ou leur
originalité dans les programmes, soit parce que leur enseignement, même
sous une forme simplifiée, requiert un contenu théorique sous-jacent qui ne
figure pas nécessairement dans la formation de base d'un professeur.
Certains exercices sont issus de la Banque d'exercices émanant de
l'Inspection Générale de Mathématiques, et sont étiquetés comme tels ; ils
sont en général proposés avec un questionnement pouvant être utilisé en
classe ; le professeur aura toute la liberté pédagogique de les poser tels
quels ou de les modifier. Les autres sont destinés dans leur forme actuelle
à parfaire les connaissances du professeur, ou à mieux lui permettre
d'assimiler une notion mal connue, ou encore à fournir une source
d'inspiration pour la confection de sujets ou d'activités en classe. Dans
ce dernier cas, l'énoncé actuel nécessite une refonte pour être posé à
l'élève.
Les exercices sont regroupés en deux grandes parties correspondant à
des blocs distincts du programme, mais chaque partie concerne à la fois
l'option de 1ère L et la spécialité de Tale L.


Première partie : logique, algorithmique, nombres et arithmétique

A - Logique, argumentation et raisonnement


La logique « pure »


|Exercice 1 : la puissance de la logique |
|Existe-t-il deux irrationnels a et b tels que [pic]soit rationnel ? (Utiliser |
|le nombre [pic].) |


|Exercice 2 |
|1. Débusquer les quantificateurs implicites dans les phrases suivantes : |
|un nombre pair est somme de trois carrés d'entiers ; |
|une puissance de [pic] peut approcher un entier au millième près ; |
|un entier pair est de la forme[pic]. |
|2. Valider ou réfuter chacune de ces phrases. |


|Exercice 3 : vrai ou faux ? |
|Tout entier compris entre 10 et 20 est pair ou premier. |
|Pour tout n appartenant à [pic], si n est pair alors n est premier. |
|Les chats à six pattes sont bleus. |
|Les chats à six pattes ne sont pas bleus. |


|Exercice 4 (d'après Banque d'exercices du Ministère) |
|1. Justifier le fait que [pic](mod 3). |
|2. Parmi les assertions suivantes, indiquer celles qui sont vraies et celles |
|qui sont fausses (les réponses |
|doivent être justifiées) : |
|a) [pic] est divisible par 3 ; b) [pic] est divisible par 3 ; c) [pic]|
|est divisible par 3. |


|Exercice 5 |
|Soit[pic]. |
|Pour chacune des assertions suivantes, indiquer celles qui sont vraies et |
|celles qui sont fausses, en |
|justifiant la réponse. |
|Pour tout n de E, n est pair ou multiple de 3. |
|Il existe n dans E tel que n est pair et multiple de 3. |
|Il existe n dans E tel que n est premier et multiple de 3. |
|Pour tout n de E, si n est pair, alors [pic] est premier. |
|Il existe n dans E tel que, si n est pair, alors [pic] est premier. |
|Former la négation des phrases a), b), c), d). |
|Former la contraposée, puis la réciproque de la proposition d). Sont-elles |
|vraies ? |
|Déterminer l'ensemble des n appartenant à E tels que, si n est pair, alors |
|[pic] est premier. |




|Exercice 6 (Banque d'exercices du Ministère) |
|Pour chacune des cinq propositions suivantes, dire, en justifiant la réponse, |
|si elle est vraie ou fausse. |
|1. Pour tous entiers a et r, si [pic] (mod 5) alors [pic] (mod 5). |
|2. Pour tous entiers a et r, si [pic] (mod 5), alors [pic] (mod 5). |
|3. Pour tout entier n, le produit [pic] est pair. |
|4. Il existe un entier pair multiple à la fois de 3, 17 et 23. |
|5. Il existe un entier impair multiple à la fois de 3, 4 et 5. |




|Exercice 7 : à chacun son métier |
|Le mathématicien Leonhard Euler a publié le résultat suivant en 1772 : pour |
|tout entier n compris entre 0 et 39, le nombre [pic]est premier. Démontrer ce |
|résultat, puis examiner le cas [pic]. |
|L'écrivain et cinéaste Marcel Pagnol indique dans Les Inédits (publication |
|posthume, Editions Pastorelli, 1992) que, pour tout entier naturel impair, le |
|nombre [pic] est premier. Qu'en pensez-vous ? |



Le raisonnement par récurrence

|Exercice 8 : pour introduire le raisonnement |
|Si n est le nombre d'étages dans les constructions ci contre, on note un |
|le nombre de triangles. |
|Déterminer[pic], et conjecturer la valeur de [pic]. |
|En remarquant que lorsqu'on rajoute un étage au bas d'une construction de k |
|étages, on ajoute en fait k + 1 triangles, démontrer par récurrence la |
|propriété conjecturée. |


|Exercice 9 : se méfier des conjectures hâtives |
|Si n est le nombre de points sur le cercle, on note [pic]le nombre maximal de |
|régions délimitées dans le disque. |
|Déterminer[pic], et conjecturer la valeur de[pic]. |
|À l'aide d'un dessin soigné, déterminer [pic]. Que penser de la conjecture |
|précédente ? |
|Exercice 10 : importance d'initialiser le raisonnement |
|Soit n un entier naturel. Considérons la phrase P(n) : « [pic] est multiple de |
|3 ». |
|Pour tout entier n, vérifier l'égalité :[pic]. En déduire que la propriété P(n)|
|est héréditaire dans [pic]. |
|2. Existe-t-il un entier n tel que P(n) soit vraie ? |

|Exercice 11 : une initialisation tardive |
|Soit n un entier naturel. Considérons la phrase P(n) : « [pic] ». |
|Dire si la phrase est vraie pour [pic]. |
|À l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, déterminer le plus petit entier n |
|tel que P(n) soit vraie. |
|Vérifier l'égalité :[pic]. En déduire que la propriété P(n) est héréditaire |
|dans l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à 3. |
|Quels sont les entiers n pour lesquels P(n) est vraie ? |

|Exercice 12 : plusieurs méthodes |
|Le but de l'exercice est de montrer que pour tout entier n, [pic]est un nombre |
|pair. |
|Première méthode : prouver le résultat par récurrence. |
|Deuxième méthode : utiliser les congruences. |

|Exercice 13 |
|Il s'agit d'établir que pour tout entier n, le nombre [pic]est un multiple de |
|7. |
|Première méthode : prouver le résultat par récurrence, en utilisant l'égalité :|
| |
|[pic]. |
|Deuxième méthode : utiliser les congruences. |



Le raisonnement par l'absurde


|Exercice 14 |
|Montrer que [pic]est irrationnel. |


|Exercice 15 |
|Montrer que l'ensemble des nombres premiers est infini. |


|Exercice 16 |
|Soit [pic]un rationnel positif non entier, écrit sous forme irréductib