doc - LAGA - Université Paris 13

CONTRAT 2009 2012



DEMANDE D'HABILITATION DE DIPLOME DE MASTER













Master Mention Mathématiques et Informatique


Université Paris 13


Master Mention Mathématiques et Applications


Université Paris 8

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Descriptifs des unités d'enseignement



Spécialité

Mathématiques fondamentales et Protection de l'Information



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Intitulé de l'UE : Algèbre 1 S1


Semestre : S1

Crédits : 6

Heures de cours : CM 39 TD 39

But du cours : Corps et théorie de Galois. Modules sur un anneau
principal et applications.

Responsable : LAGA

Pré requis :

Contenu :

Polynômes symétriques, séries formelles

Corps : extensions de corps, polynôme minimal, corps cyclotomiques, corps
finis

Correspondance de Galois

Modules de type fini sur un anneau principal, applications au théorème de
structure des groupes abéliens de type fini et à la réduction de Jordan des
matrices


Intitulé de l'UE : Analyse de Fourier et théorie du signal S1


Semestre : S1, obligatoire

UE commune avec la spécialité Algorithmique, Modélisation, Images

Heures de cours : CM 19,5 TD 19,5

But du cours : Analyse hilbertienne et de Fourier et applications en
théorie du signal

Responsable : LAGA

Pré requis : Aucun

Contenu :

Compléments sur les espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes, séries de
Fourier. Théorème de Riesz, dualité.

Transformation de Fourier dans L^1, dans L^2 et sur l'espace de Schwartz.
Convolution, régularisation.

Transformation de Fourier discrète, transformation de Fourier rapide.

Filtrage. Echantillonnage, théorème de Shannon.


Intitulé de l'UE : Modèles aléatoires 1 S1


Semestre : S1

Crédits : 4

Heures de cours : CM 19,5 TD 19,5

But du cours :

Responsable : LAGA

Pré requis :

Contenu :

Rappels de probabilités, fonction génératrice des moments ; propriété de
Markov. Probabilités de transition ; lois invariantes et lois limites.

Exemples de chaînes de Markov (marches aléatoires, modèles génétiques,
files d'attente, chaînes de branchement, chaîne de naissance ou de mort.

États transients, états récurrents. Temps et probabilité d'absorption.
Temps moyen de première visite et de récurrence.




Intitulé de l'UE : Analyse complexe S1


Semestre : S1

Crédits : 4

Heures de cours : CM 19,5 TD 19,5

But du cours : Application de la théorie de la variable complexe aux
équations différentielles provenant de la mécanique et de la physique

Responsable : LAGA

Pré requis :

Contenu :

Rappels :
- fonctions holomorphes : équations de Cauchy-Riemann, théorème de
Cauchy, fonctions multiformes, points de branchement, développement en
séries de Taylor/de Laurent, formule des résidus, prolongement analytique
(principe de symétrie de Schwarz).

- théorie des équations différentielles : sous des hypothèses de
régularité, l'espace des solutions d'une équation différentielle linéaire
homogène d'ordre n est de dimension n.

Propriétés des intégrales de Cauchy : limite à droite et à gauche de
l'intégrale de Cauchy, valeur principale, formules de Plemelj, problème
de Hilbert.

Transformations conformes, exemples.

Résolution de problèmes de physique et de mécanique de la rupture par la
variable complexe : fonctions harmoniques, fonctions biharmoniques,
résolution de quelques problèmes d'élasticité linéaire et application à la
mécanique de la rupture, applications aux équations intégrales.





Intitulé de l'UE : Analyse fonctionnelle S1


Semestre : S1

UE commune avec la spécialité Algorithmique, Modélisation, Images

Crédits : 4

Heures de cours : CM 19,5 TD 19,5

But du cours : Théorèmes généraux et outils fondamentaux de l'analyse
fonctionnelle.

Responsable : LAGA

Pré requis :

Contenu :

Espaces fonctionnels : exemples classiques, théorème de Baire, de Banach-
Steinhaus, du graphe fermé et de l'application ouverte.

Théorème d'Ascoli. Dualité, Théorème de Hahn-Banach. Topologies faibles.

Eléments de théorie spectrale des opérateurs.


Intitulé de l'UE : Géométrie différentielle S1


Semestre : S1

Crédits : 4

Heures de cours : CM 19,5 TD 19,5

But du cours : Théorèmes généraux et outils fondamentaux de la géométrie
différentielle.

Responsable : LAGA

Pré requis :

Contenu :

· Propriétés affines et métriques des surfaces de R, formes fondamentales,
calculs d'aire

· Sous-variétés de R^n : définitions, espaces tangents, exemples. Groupes
classiques, application exponentielle

· Champs de vecteurs sur une partie ouverte de R^n : flots, tracés
d'orbites, aspects dynamiques. Exemples des champs de gradient et des
champs hamiltoniens

· Théorème du puits et description de la structure locale au voisinage
d'une singularité non dégénérée.

· Exemples de champs de vecteurs tangents à une sous-variété.




Intitulé de l'UE : Topologie S1


Semestre : S1

Crédits : 4

Heures de cours : CM 19,5 TD 19,5

But du cours : Topologie ensembliste et introduction à la topologie
algébrique

Responsable : LAGA

Pré requis :

Contenu :

· Compléments de topologie : espaces topologiques, connexité, compacité,
topologie-quotient, espaces séparés et normaux, espaces paracompacts

· Groupes topologiques, surfaces

· Homotopie entre applications continues

· Groupe fondamental : exemples, revêtements, revêtement universel.




Intitulé de l'UE : Complexité algorithmique S1


Semestre : S1

UE commune avec la spécialité Algorithmique, Modélisation, Images

Crédits : 4

Heures de cours : CM 19,5 TD 19,5



But du cours : Introduire les concepts de la complexité en temps et en
espace.

Responsable : Christophe Tollu

Pré requis : Aucun

Contenu :

1. Rappel sur la notion de calculabilité.

2. Machine de Turing.

3. Classes PSPACE, P et NP.

4. Problèmes NP-difficiles ; exemples issus de l'arithmétique et de la
cryptographie.

5. Classes probabilistes.






Intitulé de l'UE : Programmation pour la cryptographie S1


Semestre : S1

Crédits : 4

Heures de cours : CM 19,5 TD 19,5

But du cours : programmation en C des principaux algorithmes utilisés
dans le domaine de la correction d'erreur et de la cryptographie .Il
montrera sur des exemples variés comment les notions mathématiques sont
représentées en machine.

Responsable : Sihem Mesnager

Pré requis : Connaissances de base en algorithmique et éléments de
base du langage C ou une bonne pratique d'un autre langage de
programmation.

Contenu Liste ( non exhaustive) des algorithmes traités :

1. Algorithmes généraux d'algèbre :
- Algorithme d'Euclide binaire et calcul d'inverse, sur les entiers
et les polynômes binaires.
- Algorithmes de calcul sur les corps finis, irréductibilité des
polynômes.
- Transformée de Fourier discrète.
2. Algorithmes utilisés en cryptographie asymétrique :
- Calculs modulaires, Exponentiation.
- Fractions de Gauss, suites de Fibonacci, suite de Lucas.
- Tests de primalité, tests probabilistes de primalité, pseudo
premier de Fibonacci, pseudo-premier de Fermat.
- Algorithme de calcul du symbole de Legendre, symbole de Jacobi ,
résidus quadratiques.
3. Algorithme pour l'analyse des primitives du chiffrement symétrique :
Fonctions Booléennes et vectorielles
- Forme Algébrique Normale, degré algébrique
- Transformée de Walsh et ordre de corrélation/résilience
- Non-linéarité
- Fonction auto-corrélation.



Intitulé de l'UE : Traitement statistique du signal S1


Semestre : S1

UE commune avec la spécialité Algorithmique, Modélisation, Images

Crédits : 4

Heures de cours : CM 19,5 TD 19,5 TP 12

But du cours : Apprendre aux étudiants à utiliser les processus
stochastiques stationnaires du second ordre (principalement à temps
discret) comme outils de modélisation permettant de résoudre, de manière
statistiquement optimale (au sens du minimum de variance) des problèmes de
filtrage, d'estimation et de prédiction

Responsables : Caroline Kulcsár et Henri-François Raynaud (L2TI)

Pré requis : notions de base de la théorie des probabilités, et de
l'algèbre linéaire et quadratique

Contenu :

Processus aléatoires à temps discret : moments, processus stationnaires,
processus gaussiens scalaires et vectoriels. Notions d'espace de Hilbert
stochastique. Ergodicité.

Représentation spectrale, fonction d'autocorrélation, densité spectrale de
puissance, bruit blanc.

Modèles paramétriques AR et ARMA. Modèles markoviens, représentations
d'état, problème de réalisation.

Filtrage et prédiction à variance minimale. Filtre de Kalman.

Estimation des paramètres d'un modèle AR/ARMA. Méthode de Yule-Walker.

Introduction aux processus à temps continu. Problème de discrétisation.




Intitulé de l'UE : Culture générale S1


UE commune avec la spécialité Algorithmique, Modélisation, Images

Semestre : S1, obligatoire

Crédits : 4

Anglais

Heures de cours : CM-TD 19,5

Responsables : Gary Grill, Monique Nicolas, Edith Patrouilleau

Contenu :

Entraînement systématique à la compréhension orale et à la prise de parole
en continu (exposé, analyse personnelle argumentée).
Traitement de l'information à partir de messages oraux et écrits de plus
en plus complexes et orientés vers le domaine "sciences et technologie"
(émissions de radio, de télévision, extraits de films, articles de presse).
Recherche documentaire dans la presse scientifique et sur internet.
Une approche interculturelle est développée dans une perspective
d'ouverture à l'international.

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Histoire des sciences : M