Exercice 1 - Baudrand

EDHEC 2000 option économique
1
exercice 1
1)Déterminer l'ensemble D des réels x tels que ex - e-x > 0
On définit la fonction f par : (x ( D f(x) = ln(ex - e-x).
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0, i,
j).
2) a.Etudier les variations de f et donner les limites de f aux bornes
de D.
b. En déduire l'existence d'un unique réel a vérifiant f(a) = 0, puis
donner la valeur exacte de a.
c.Montrer que le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe
(C) au point d'abscisse a vaut [pic].
3) a.Calculer [pic]
b.En déduire l'équation de l'asymptote (() à la courbe (C) au
voisinage de +(
c.Donner la position relative de (() et (C).
4)Donner l'allure de la courbe (C) en faisant figurer les droites (() et
(T).
On admettra que a ( 0,5 et que [pic] ( 2,2.
5)Soit ( un réel, on note g( la fonction définie par : [pic]
a.On pose h(x) = f(x) - x. Après avoir calculé h'(x), déterminer (
en fonction de a pour que g( soit une densité de probabilité d'une
certaine variable aléatoire X.
b.Donner la fonction de répartition G( de X.
Exercice 2
Soit la matrice K = [pic].
On note E l'ensemble des matrices M de M3(R) Vérifiant : MK = KM = M.
1) a. Montrer que E est un espace vectoriel. b. Montrer par
l'absurde qu'aucune matrice de E n'est inversible.
2) Soit M = [pic]une matrice de E.
a. Montrer que : k = g = c = a, h = b et f = d, puis en déduire la forme
des matrices de E.
b. Retrouver le fait que les matrices de E ne sont pas inversibles.
c. Déterminer une base de E et vérifier que dim E = 4. 3) On considère l'ensemble F des matrices de la forme [pic] où x, y et z
sont des réels.
a. Vérifier que F est un sous-espace vectoriel de E et donner une base
de F.
b. Les matrices de F sont-elles diagonalisables ?
c. Dans ces questions on appelle U la matrice de F telle que : x = 3, y =
2 et z = 4. Trouver les valeurs propres de U et exhiber un vecteur
colonne propre pour chacune d'entre elles.
4) On note ( l'application de F dans R qui à toute matrice A de F
associe le nombre
[pic], où ai,j désigne l'élément de la matrice A situé à l'intersection
de la i-ème ligne et de la j-ème colonne.
a. Montrer que ( est une application linéaire de F dans R.
b. Déterminer Im (. En déduire que Ker ( est de dimension 2.
c. Soit M = [pic] une matrice de Ker (. Exprimer M en fonction de x, y
et z et en déduire une base de Ker (. Exercice 3
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on définit la fonction fn par :
(x ( R+ fn (x) = xn + 9x2 - 4.
1) a. Montrer que l'équation fn(x) = 0 n'a qu'une seule solution
strictement positive, notée un.
b. Calculer u1 et u2.
c. Vérifier que : (n ( N* un ( ]0, [pic][.
2) a. Montrer que, pour tout x élément de ] 0, 1 [, on a : fn+1(x) < fn(x). b. En déduire le signe de fn(un+1), puis les variations de la suite
(un).
c. Montrer que la suite (un) est convergente. On note ( sa limite.
3) a. Déterminer la limite de (un)n lorsque n tend vers +(.
b. Donner enfin la valeur de (.
4) Montrer que la série de terme général [pic]- un est convergente. Problème
On lance indéfiniment une pièce donnant "Pile" avec la probabilité p et
"Face" avec la probabilité q = 1 - p. On suppose que p ( ]0, 1[ et on
admet que les lancers sont mutuellement indépendants.
Pour tout entier naturel k, supérieur ou égal à 2, on dit que le k-ème
lancer est un changement s'il amène un résultat différent de celui du (k -
1)-ème lancer.
On note Pk (resp. Fk) l'événement : « on obtient "Pile" (resp. "Face") au k-
ème lancer ». Pour ne pas surcharger l'écriture on écrira, par exemple, P1
F2 à la place de P1 ( F2. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à
2, on note Xn la variable aléatoire égale au nombre de changements survenus
durant les n premiers lancers.
Partie 1 : étude de quelques exemples.
1) Donner la loi de X2.
2) a. Donner la loi de X3.
b. Vérifier que E(X3) = 4pq et que V(X3) = 2pq (3 - 8pq).
3) a. Trouver la loi de X4.
b. Calculer E(X4).
Partie 2 : étude du cas p ( q.
Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
1) Exprimer P(Xn = 0) en fonction de p, q et n.
2) En décomposant l'événement (Xn = 1) en une réunion d'événements
incompatibles, montrer que P(Xn = 1) = [pic].
3) En distinguant les cas n pair et n impair, exprimer P(Xn = n - 1) en
fonction de p et q.
4) Retrouver, grâce aux trois questions précédentes, les lois de X3 et
X4.
5) Pour tout entier naturel k, supérieur ou égal à 2, on note Zk la
variable aléatoire qui vaut 1 si le k-ème lancer est un changement et 0
sinon (Zk est donc une variable de Bemoulli). Ecrire Xn à l'aide de
certaines des variables Zk et en déduire E(Xn).
Partie 3 : étude du cas p = q.
1) Vérifier, en utilisant les résultats de la partie 1, que X3 et X4
suivent chacune une loi binomiale.
2) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, Xn
suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.