Bac S 1999 - Descartes et les Mathématiques

Bac S 1999 - ANTILLES - GUYANE Exercice commun : probabilités - exercices enseignement obligatoire :
complexes - spécialité : arithmétique - problème : fonction logarithme. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word :
http://www.debart.fr/doc/bac_1999/bac_s_antille_guyane_1999.doc BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 1999
Épreuve : MATHÉMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPÉCIALITÉ L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4. EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats
Lors d'un examen, un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.) est utilisé.
On s'intéresse à cinq questions de ce Q.C.M. supposées indépendantes. À
chaque question sont associées quatre affirmations, numérotées 1, 2, 3 et
4, dont une seule est exacte.
Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro
de l'affirmation qu'il juge exacte ; sa réponse est correcte si
l'affirmation qu'il a retenue est vraie, sinon sa réponse est incorrecte.
Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme
fractionnaire. 1. Un candidat répond à chaque question au hasard, c'est-à-dire qu'il
considère que les quatre affirmations correspondantes sont équiprobables.
a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Le candidat répond correctement à la première des cinq questions » ;
(1 point)
B : « Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur les
cinq ».
(1 point)
b) On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note -1 à toute
réponse incorrecte.
Calculer la probabilité de l'événement C : « Le candidat obtient une note
au moins égale à 10 pour l'ensemble des cinq questions ». (1 point) 2. On suppose maintenant qu'un candidat connaît la réponse correcte à deux
questions et qu'il répond au hasard aux trois autres questions.
Quelle est alors la probabilité de l'événement C décrit au 1. b ? (1
point)
EXERCICE 2 (5 points) Arithmétique pour les candidats ayant suivi
l'enseignement de spécialité (repris dans question d'oral n°5)
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; [pic] ,[pic]), on donne le
point A(12 ; 18).
On désigne par B un point de l'axe (O ; [pic]) et par C un point de l'axe
(O ; [pic]) tels que :
[pic]
On appelle x l'abscisse de B et y l'ordonnée de C. 1. Démontrer que le couple (x ; y) est solution de l'équation (E) :
2x + 3y ' 78. (1 point) 2. On se propose de trouver tous les couples (B, C) de points ayant pour
coordonnées des nombres entiers relatifs. a) Montrer que l'on est ramené à l'équation (E), avec x et y appartenant à
l'ensemble Z des nombres entiers relatifs. (1 point) b) À partir de la définition de B et C, trouver une solution particulière
(x0 ; y0) de (E) avec x0 et y0 appartenant à Z. (1 point) c) Démontrer qu'un couple (x ; y) d'entiers relatifs est solution de
l'équation (E) si, et seulement si, il est de la forme (12 + 3k ; 18 - 2k),
où k appartient à Z. (1 point) d) Combien y a-t-il de couples de points (B, C) ayant pour coordonnées des
nombres entiers relatifs, tels que :
- 6 ( x ( 21 et - 5 ( y ( 14 ? (1,5 point) EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct [pic].
On considère le point A d'affixe 1 et, pour tout ? appartenant à [0 ; 2?[,
le point M d'affixe z = ei?.
On désigne par P le point d'affixe 1 + z et par Q le point d'affixe z2.
1. À partir du point M, donner une construction géométrique du point P et
une construction géométrique du point Q. Les points O, A, M, P et Q seront
placés sur une même figure. (1 point)
2. Déterminer l'ensemble des points P, pour ( appartenant à [0 ; 2?[. (1
point)
Tracer cet ensemble sur la figure précédente. (0,5 point)
3. Soit S le point d'affixe 1 + z + z2, où z désigne toujours l'affixe du
point M.
Construire S, en justifiant la construction. (1 point)
4. Dans le cas où S est différent de O, tracer la droite (OS).
Quelle conjecture apparaît, relativement au point M ? (0,5 point)
Démontrer que le nombre [pic] est réel, quel que soit ( appartenant à [0 ;
2?[.
(1 point)
Conclure sur la conjecture précédente. (1 point)
PROBLÈME (5 points) commun à tous les candidats L'objet de ce problème est d'étudier une fonction à l'aide d'une fonction
auxiliaire et de calculer l'aire d'un domaine plan. Partie A Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]- 1 ; + ?[ par :
[pic].
1. Calculer f '(x), étudier son signe et en déduire le tableau de variation
de la fonction f. (0,5 + 0,5 + 0,5 point)
2. Calculer f (0). Montrer que l'équation f (x) = 0 admet exactement deux
solutions dont l'une, que l'on désigne par (, appartient à [- 0,72 ; -
0,71]. (1 point)
3. Donner le signe de f (x), pour x appartenant à ] - 1 ; + ?[. (0,5
point) Partie B Soit g la fonction définie sur l'ensemble ] - 1 ; 0 [ ? ] 0 ; + ?[ par :
[pic]
1. Étude de g aux bornes de son ensemble de définition
a) Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inférieures
et quand x tend vers 0 par valeurs supérieures. (0,5 + 0,5 point)
b) Calculer [pic] g(x) et [pic] g(x). (0,5 + 0,5 point)
2. Sens de variation de g
a) Calculer g'(x) et déduire, à l'aide de la partie A, son signe. (0,5 +
0,5 point)
b) Montrer que g(() = [pic]. En déduire une valeur approchée de g(() en
prenant
( = - 0,715. (0,5 + 0,5 point) 3. Tableau de variation et représentation graphique de g
a) Dresser le tableau de variation de la fonction g. (0,5 point)
b) Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté à un
repère orthonormal (unité graphique : 2 cm). (0,5 point) 4. Calcul d'aire
Soit a un réel strictement supérieur à 0. On pose :
[pic]
a) Donner, suivant les valeurs de a, une interprétation géométrique du réel
I (a).
(0,5 point)
b) En remarquant que, pour x appartenant à ] 0 ; + ? [ :
[pic],
calculer I (a) à l'aide d'une intégration par parties. (1,5 point)
c) Calculer [pic] I(a) et [pic] I(a).