Collège Louis Pergaud, Dozulé

Histoire des Arts Classes de 3ème Art, Espace et Temps Disciplines : Mathématiques, Arts plastiques, Histoire-Géographie,
Technologie Outils : Traitement de textes, Tableur, outils de géométrie Mots clés mathématiques : Racines carrées, Théorème de Pythagore,
Trigonométrie, Rectangle, Triangle, Spirale, Pentagone, Suites de
Fibonacci, Pyramide. Sujet: Le nombre d'or [pic] Partie I. Le nombre d'or.
Partie II. Le nombre d'or dans la géométrie.
1. Le rectangle d'or.
2. La spirale d'or.
3. Le triangle d'or.
4. Le pentagone régulier.
5. L'octogone régulier.
Partie III. Le nombre d'or dans la peinture.
1) Le sacrement de la dernière cène, Salvador Dali.
2) L'Homme de Vitruve, Léonard de Vinci.
3) La naissance de Vénus, Sandro Botticelli.
Partie IV. Le nombre d'or dans l'architecture.
Partie IV. Le nombre d'or dans la nature.
Partie V. Des calculs avec le nombre d'or.
Partie VI. Le mythe du nombre d'or. Liens utiles:
Document : http://accromath.uqam.ca/contents/pdf/lenombredor.pdf
Film : http://www.dailymotion.com/video/x5uzbz_video-le-nombre-dor-tpe-
marc_creation
Dessin animé : http://www.dailymotion.com/video/xdkhw3_le-nombre-dor-par-
disney_creation
Film: http://www.dailymotion.com/video/x8xxkx_le-nombre-dor-113_creation
Partie I. Le nombre d'or.
La valeur exacte du nombre d'or est [pic]. Il est souvent désigné par la
lettre grec [pic] « phi ».
a) Histoire : Pourquoi le nombre d'or est-il désigné par [pic]? (rechercher
dans le dictionnaire, sur internet) b) Mathématiques :
a) Calculer une valeur approchée de [pic] à 0,001 près.
b) Calculer la valeur exacte de [pic].
c) Calculer la valeur exacte de [pic].
d) En déduire que [pic]. Partie II. Le nombre d'or dans la géométrie. 1) Le rectangle d'or :
a) Chercher la signification d'un rectangle d'or. Quelle propriété possède-
t-il ? b) Dessin d'un rectangle d'or :
- Tracer un carré ABCD de 6 cm de côté.
- Placer le point K, milieu de [AD].
- Placer le point E de la demi-droite [AD) tel que KE = KC.
- Placer le point F tel que DEFC soit un rectangle.
c) On va montrer que ABFE est un rectangle d'or. Pour cela :
i) Calculer KD.
ii) Montrer que la valeur exacte de KC est [pic]cm.
iii) Ecrire KC sous la forme [pic].
iv) Calculer la valeur exacte de AE.
v) Montrer que [pic].
2) La spirale d'or : a) i) Tracer un rectangle ABCD tel que AB = 8,9 cm et
BC = 14,4 cm.
ii) Calculer [pic] à 0,001 près et en déduire la nature du rectangle
ABCD.
b) i) Tracer le carré ABEG.
ii) Calculer EC.
iii) Calculer [pic] à 0,001 près et en déduire la nature du rectangle
ECDG.
c) i) Tracer le carré ECJF.
ii) Calculer DJ. iii) Calculer [pic] à 0,001 près et en déduire la nature du rectangle
DJFG.
d) i) Tracer le carré DJHI.
ii) Calculer IG.
iii) Calculer [pic] à 0,01 près et en déduire la nature du rectangle
GIHF.
e) Tracer l'arc de cercle [pic] de centre H.
f) Tracer l'arc de cercle [pic] de centre F.
g) Tracer l'arc de cercle [pic]de centre G.
h) Quelle est la figure obtenue à l'aide des arcs de cercle. 3) Le triangle d'or :
a) Chercher la définition du triangle d'or. b) On considère le triangle HMI, isocèle en H, tel que IH = 23,3 cm et
IM = 14,4 cm.
i) Montrer qu'à [pic] près, HMI est un triangle d'or.
ii) Montrer que (HP) est la médiatrice du segment [IM].
iii) Calculer l'angle [pic] à 1° près.
iv) Calculer l'angle [pic]à 1° près. 4) Le pentagone régulier. Le pentagone est un polygone régulier qui a 5 côtés de même longueur. Il
est inscrit dans un cercle et a 5 angles au centre de même mesure. On considère un cercle de rayon 5 cm. a) Montrer que la mesure d'un angle au centre est de 72°. b) Calculer la mesure de l'angle[pic]. c) Calculer AH à 0,001 près. d) Calculer AB à 0,001 près. e) Dans le triangle rectangle DHA, calculer AD à 0,001 près. f) Montrer que [pic]. 5) L'hexagone régulier. L'hexagone est un polygone régulier qui a 6 côtés de même longueur. Il est
inscrit dans un cercle et a 6 angles au centre de même mesure.
On considère un cercle de rayon 5 cm. a) Montrer que la mesure d'un angle au centre est de 60°. b) Calculer les mesures des angles [pic] et [pic]. c) En déduire la nature du triangle OAB et la longueur AB. d) Tracer des figures géométriques dans les images ci-dessous. Partie III. Le nombre d'or dans la peinture. 1) Le sacrement de la dernière cène, Salvador Dali. La peinture ci dessus de Salvador Dali est appelée « Le sacrement de la
dernière cène». a) Arts plastiques : Résumer en moins de 4 lignes la vie de Salvador Dali. b) Arts plastiques : Décrire en moins de 4 lignes la peinture ci-dessus. c) Mathématiques : Décrire la figure géométrique du plan qui entoure la
personne centrale. d) Mathématiques : Décrire la figure géométrique du plan qui englobe les
mains du torse nu. e) Mathématiques : Décrire la figure géométrique transparente de l'espace
qui entoure toute la scène f) Arts plastiques : Décrire une autre peinture célèbre de Dali.
2) L'Homme de Vitruve, Léonard de Vinci
La représentation ci-contre est très célèbre. Elle est due à Léonard de
Vinci. a) Arts plastiques : Résumer en moins de 4 lignes la vie
de Léonard de Vinci. b) Arts plastiques : Décrire en moins de 4 lignes cette peinture. c) Mathématiques : Décrire les figures géométriques qui entourent la
personne centrale. d) Mathématiques : On a tracé une étoile sur cette peinture. Comment
trouver avec précision le centre du cercle circonscrit? e) Arts plastiques : Décrire d'autres réalisations célèbres
de Léonard de Vinci. f) Arts plastiques : « The Da Vinci Code», vous connaissez ?
Y a-t-il un lien entre ce roman et Léonard de Vinci ? 3) La naissance de Vénus, Sandro Botticelli. Le tableau ci-dessous s'appelle « La naissance de Vénus ». a) Arts plastiques : Résumer en moins de 4 lignes la vie de Sandro
Botticelli. b) Arts plastiques : Décrire en moins de 4 lignes cette peinture. c) Mathématiques : Les dimensions originales de ce tableau sont de 278,5 cm
et 172,5 cm. Quel est le lien entre ce tableau et le nombre d'or? Partie IV. Le nombre d'or dans l'architecture. 1) Le Parthénon, Athènes
a) Histoire : Donner la période de construction du Parthénon. b) Géographie : Situer avec précision la ville d'Athènes dans la carte ci-
contre. c) Mathématiques : Donner le nom de trois mathématiciens grecs célèbres
dans le programme de mathématiques du collège.
-
-
- d) Mathématiques : chercher les dimensions réelles du Parthénon et
déterminer un lien avec le nombre d'or.
1) La pyramide du Louvre a) Histoire : Donner la période de construction de la pyramide du Louvre. b) Géographie : Dans quel pays se trouve les plus célèbres pyramide du
monde? Quelle est la capitale de ce pays? c) Mathématiques : Chercher les dimensions de la pyramide de Khéops.
- Hauteur :
- Nature de la base :
- Dimensions de la base :
- Donner la formule du volume d'une pyramide : - Calculer le volume de la pyramide de Khéops en[pic]. c) Mathématiques : On considère la pyramide ci-contre à base carrée avec
BC = 230.400 m,
SH = 146.58 m. i) Quelle est la nature du triangle SHM?
ii) Calculer SM à 0,001 près.
iii) Montrer que [pic] à 0,001 près. Partie V. Des calculs avec le nombre d'or. Il existe plusieurs formules pour calculer le nombre d'or. On peut en
tester certaines assez facilement avec la machine à calculer ou un
tableur. Le nombre d'or sert aussi à résoudre certains problèmes de
mathématiques comme celui du problème de la multiplication des lapins. 1) La suite de Fibonacci. « Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on
en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à
compter du second mois de son existence ? ».
Voilà le problème que posa le mathématicien italien
Leonardo Pisano dit Fibonacci ! a) Histoire : Résumer en moins de 4 lignes la vie de Leonardo Pisano dit
Fibonacci ! : b) Géographie : Décrire un monument célèbre dans la ville de Pise. c) Histoire : Situer avec précision la ville de Pise dans la carte ci-
contre. d) Histoire : Décrire un fait marquant survenu dans le monde entre 1180 et
1250. e) Mathématiques : Pour répondre à la question de Fibonacci, on désigne par
Fn le nombre de couples de lapins au début du n-ieme mois.
i) Compléter le tableau suivant: |Mois n° n |1 |2 |3 |4 |5 |6 |
|Fn = Nombre | | | | | | |
|de couples | | | | | | | ii) Déterminer une relation entre la valeur de Fn et les valeurs qui la
précèdent.
iii) Pour continuer la suite de Fibonacci, on utilise un tableur. - Ouvrir une feuille de classeur (ici openoffice Calc)
- Dans la case A2, taper =(1+RACINE(5))/2 et valider.
- Dans la case B2, taper =(1-RACINE(5))/2 et valider.
- Dans la case A4, taper n
- Dans la case B4, taper Fn
- Dans la case A5, taper 1
- Dans la case A6, taper 2
- Sélectionner les cases A5 et A6 et tirer, la souris enfoncée, jusqu'à
la case A28.
- Dans la case B5, taper = ($A$2^A5-$B$2^A5)/RACINE(5) et valider.
- Sélectionner case B5 et tirer, la souris enfoncée, jusqu'à la case
B28.
Compléter :
F14= F24=
2) La formule de fractions continues.
La formule suivante permet de trouver des valeurs de plus en plus
approchées du nombre d'or : [pic] On désigne par [pic]la valeur de la fraction avec n additions. Ainsi [pic].
i) Calculer [pic], [pic], [pic]et [pic]. Peut-on retrouver [pic]à l'aide
des suites de Fibonacci ? ii) Testons cette formule à l'aide d