Chapitre 1: Calcul des intérêts et comparaison de taux - HEC Montréal

Chapitre 1: Notions préliminaires
Ce chapitre vise à familiariser le lecteur avec les notions suivantes : . Intérêt;
. Taux d'intérêt nominal;
. Taux d'intérêt périodique;
. Valeur acquise;
. Valeur actuelle;
. Capitalisation. Le lecteur apprendra à: . Calculer la valeur acquise par un capital placé durant une période à
un taux d'intérêt nominal donné;
. Calculer la valeur acquise par un capital placé à intérêts composés
durant plusieurs périodes; Ce chapitre se divise en 7 sections: Calcul des intérêts
Prêt sur une période d'intérêt
Notation des actuaires et notation mathématique
Valeur acquise et valeur actuelle à intérêt composé
Valeur acquise après un nombre non-entier de périodes
Taux d'intérêt effectif
Taux d'intérêt équivalents [pic] Un fichier Excel est préparé pour faire des calculs relatifs aux
problèmes.
Cliquer ici pour aller chercher ce fichier.
Accès à une série de problèmes sur le chapitre 1. Retour au plan de cours Section 1.1 : Calcul des intérêts [pic] Définitions :
1- Intérêt : coût de location de l'argent pour avoir le droit
d'utiliser (jouir de) l'argent pendant un temps donné.
2- Dates d'intérêt : dates où les intérêts sont versés.
3- Période d'intérêt : période entre 2 dates d'intérêt. [pic] Ex. : On emprunte 1000$ le 1er mars 2001
1- Si on rembourse 1100$ le 1er mars 2002
( Intérêt = 100$
( Date d'intérêt = 1er mars 2002
( Période d'intérêt = 1an
2- Si on paye 50$ le 1er septembre 2001 pour pouvoir poursuivre
l'emprunt et qu'on rembourse 1050$ le 1er mars 2002
( Dates d'intérêt = 1er septembre 2001 et 1er mars 2002
( 2 périodes de 6 mois Un prêt qui s'étend sur plusieurs périodes peut-être vu comme une suite de
prêts, chacun étant sur une seule période :
[pic] Ex. : Emprunter 1000$ le 1er mars 2001, puis
1- Payer 50$ le 1er septembre 2001 et 1050$ le 1er mars 2002; ou
rembourser 1050$ puis emprunter 1000$ au 1er septembre 2001 et
rembourser 1050$ au 1er mars 2002.
2- Rembourser 0$ le 1er septembre 2001 et 1102,50$ le 1er mars
2002. [pic] Définition :
Le fait d'additionner les intérêts à la dette porte le nom de
capitalisation des intérêts. Chapitre 1 Section suivante Auto-évaluation 1.1 Section 1.2 : Prêts sur une période d'intérêt Remarque :
On emprunte 100$, sur lesquels on doit rembourser 0,04$ par
dollar emprunté tous les 6 mois
1- Après 6 mois, on doit 104$ soit 100$ + 100 * 0,04
2- Après 12 mois, on doit 108,16$ soit 104$ + 104 * 0,04 (si on
ne paie pas le premier intérêt de 4$)
Taux d'intérêt = 8% capitalisé 2 fois par an. [pic] Définitions :
1- Taux d'intérêt nominal = c'est le taux d'intérêt annuel j
(nommé) par une institution qui se capitalise un certain
nombre (m) de fois par année ou un certain nombre (m) de
périodes par année.
2- Taux d'intérêt périodique = le nombre i tel que i $ soit le
montant d'intérêt crédité en fin d'une période pour un prêt
(emprunt) de 1$ effectué au début de la période, i=[pic]
On pourrait aussi avoir :
| |
|Taux périodique = [pic] | [pic] Définitions :
1- Capital = le montant d'argent prêté (ou emprunté)
2- Valeur acquise = capital + intérêts
3- Capitalisation = le fait d'additionner les intérêts au capital
pour produire de l'intérêt. On parlera de taux j capitalisé soit mensuellement,
trimestriellement, semestriellement, etc. [pic] Ex. : (Voir plus haut)
Capital = 100$
Valeur acquise en 1 an = 108,16$ [pic] Formule fondamentale des intérêts simples : | |
|Si 1$ rapporte i $ en intérêts en 1 période, la valeur acquise par un|
|capital de M$ en une période sera de M*(1+i) ou M*(1+dj) où d = |
|longueur de la période en années et j = taux d'intérêt nominal. |
NOTE : Si on emprunte (dépose) un montant A d'une (dans une) institution
financière et si on rembourse (recueille) un montant B après n
périodes de capitalisation de l'intérêt alors la différence B - A est
l'intérêt payé (gagné) pendant ces n périodes de capitalisation si
aucun intérêt n'a été payé entre temps. Chapitre 1 Section suivante Auto-évaluation 1.2
Section 1.3 : Notation des actuaires et notation mathématique Pour calculer la longueur d de la période, il y a deux possibilités : 1- Utiliser les fonctions calendrier d'Excel
On peut entrer une date dans une cellule d'Excel. Il faut alors
s'assurer que le format de la cellule correspond au format de
date désiré.
On peut faire des soustractions de dates dans Excel. Il faut
alors s'assurer que le format de la cellule correspond à un
format numérique.
[pic] (Voir fichier Excel, p. Calcul de d)
2- Un mois = un douzième d'année Tout au long de ce cours, nous conviendrons que chaque mois a une durée de
1/12 d'année. Notation :
On note par jm le taux nominal lorsqu'il y a m capitalisations de l'intérêt
dans une année.
On peut dresser le tableau suivant des périodes les plus courantes : |Périodicité des |Durée d'une |Nombre de |Taux périodique |
|intérêts |période (d) |périodes en 1 an | |
|Mensuelle |d =1/12 |m = 12 |i = j/12 |
|Trimestrielle |d =1/4 |m = 4 |i = j/4 |
|Semestrielle |d =1/2 |m = 2 |i = j/2 |
|Annuelle |d =1 |m = 1 |i = j |
[pic] Ex. : Quel est le taux d'intérêt périodique si j4 = 12 % ?
La durée d'une période est ¼ d'année.
Le taux d'intérêt périodique est donc 12%/4 = 3%.
Quel est le taux d'intérêt nominal correspondant à un taux
d'intérêt par mois de 1,75 %
Il y a 12 périodes dans l'année. Donc j12 = 12*1,75% = 21 % Chapitre 1 Section suivante Auto-évaluation 1.3 Section 1.4 : Valeur acquise et valeur actuelle à intérêts composés
Lorsque les intérêts sont additionnés au capital pour la période suivante,
on parle d'intérêts composés. Pour calculer la valeur acquise par un
capital M pendant n périodes au taux i, il suffit de faire le calcul : [pic] ( [pic]. La notation couramment utilisée est la suivante : FV = «Future Value» = Valeur acquise = VC (dans EXCEL)
PV = «Present Value» = Valeur actuelle = VA (dans EXCEL) . Ou
VC=VA(1+I)n. [pic]Ex. : Quelle est la valeur acquise par 100$ en 4 ans au taux de 8%
capitalisé semestriellement ?
Solution :
j2 = 8% d'où le taux d'intérêt périodique par semestre i =
[pic] = 4%
4 ans = 8 semestres soit 8 périodes
[pic]. [pic] La fonction financière EXCEL VC (pour Valeur Cumulée) permet
d'effectuer plus facilement ce calcul. Pour y accéder, on commence par
cliquer avec le bouton gauche de la souris sur l'icône fx dans la barre
d'outils standard. Puis on sélectionne dans la catégorie de fonctions
Finances la fonction VC.
Il y a 5 paramètres pour utiliser cette fonction. Les 3 premiers sont
obligatoires et les 2 derniers sont facultatifs. Nous verrons leur
utilisation dans des chapitres ultérieurs. L'appel de la fonction VC se
fait comme suit : VC(i, n, PMT, PV, Type) où |i |Taux périodique |
|n |Nombre de périodes |
|PMT |Mettre 0 ou laisser en blanc |
|PV |Valeur actuelle |
|Type |Facultatif (laisser en blanc ou mettre |
| |0) |
[pic]Ex. : Reprenons l'exemple précédent : Quelle est la valeur acquise
par 100$ en 4 ans au taux de 8% capitalisé semestriellement ? Solution :
Il suffit d'utiliser la fonction VC(4%, 8, 0, 100, 0) et Excel donnera
une valeur de
-136,86$. Le signe négatif s'explique par le fait que l'argent
«voyagera» dans le sens opposé. Il faut déposer 100$ pour pouvoir
retirer 136,86$. (Voir fichier Excel, p. Calcul des intérêts et Intérêts composés) [pic] Définition :
Le facteur (1+ i) est appelé facteur de capitalisation.
Note : Dans la formule VC =VA (1+i)n, il y a 4 variables soit VC,VA, i et
n. La connaissance de 3 de ces variables, nous permet de déduire la
4ème .
1.4.1 Calcul de la valeur actuelle d'un montant futur Méthode de calcul
[pic] Définition :
La valeur actuelle d'un capital est le montant qu'il faut placer
aujourd'hui à un taux d'intérêt donné pour obtenir un montant
voulu à un moment donné. Le calcul se fait à l'aide de la formule: [pic] ou encore VC = VA
(1+i)n On cherche la valeur actuelle (PV) ou (VA) connaissant le montant voulu
(FV) ou (VC), le taux périodique (i) et le nombre de périodes (n): [pic]= FV (1+i)-n [pic] Définition :
Le facteur (1+ i)-1 est appelé facteur d'actualisation
[pic]Ex. : On veut disposer d'un capital de 8000$ dans 15 ans
en déposant aujourd'hui une certaine somme d'argent dans une
institution financière qui verse de l'in