Exercice II. Pendule élastique (4 points)

Réunion 2008 EXERCICE 2 : PENDULE ÉLASTIQUE (4 points) http://labolycee.org
Un pendule élastique est constitué d'un ressort hélicoïdal à spires non
jointives, de constante de raideur K = 40 N.m-1, d'axe horizontal et de
masse négligeable. L'une de ses extrémités est fixée à un support immobile.
À l'autre extrémité est accroché un solide de masse m = 100 g pouvant
osciller librement selon l'axe horizontal Ox (voir figure 1 annexe, à
remettre avec la copie). En position d'équilibre le centre de gravité G de ce solide coïncide avec
l'origine O de l'axe horizontal, orienté positivement vers la droite (voir
figure 1, annexe).
Le solide est écarté de sa position d'équilibre de sorte que l'abscisse de
son centre de gravité G soit de + 5,0 cm (voir figure 2, annexe). À
l'instant t = 0, il est lâché sans vitesse initiale et son mouvement est
enregistré (voir figure 3, annexe). Les forces de frottement ainsi que l'amortissement du mouvement sont
considérés comme négligeables.
L'intensité de la pesanteur est g = 10 N.kg-1.
On désigne par T0 la période propre des oscillations. Toutes les valeurs demandées dans l'exercice devront être exprimées dans
les unités du Système international (S.I.) Ces unités devront être
précisées. 1. Faire l'inventaire des forces extérieures appliquées sur le solide
immédiatement après le lâcher, et représenter les vecteurs-force sur la
figure 2, en annexe, à l'échelle
1 cm pour 0,5 N. 2. L'équation différentielle du mouvement de G peut
s'écrire:[pic]+[pic]X = 0 où X est l'abscisse de G à la date t. 2.1. Montrer que X(t) = Xm cos[pic]t est solution de l'équation
différentielle du mouvement à condition d'exprimer T0 en fonction de K
et m. 2.2. En utilisant les conditions initiales, donner la valeur de Xm . 3. Période.
3.1. En utilisant les valeurs de m et de K, calculer la valeur de T0. 3.2. Cette valeur est-elle en accord avec celle que l'on peut déduire
de la courbe de la figure 3 en annexe ? 4. Énergie mécanique. Vitesse. 4.1. Donner l'expression de l'énergie mécanique totale Em en fonction
de l'abscisse X, de la vitesse v du centre de gravité G, de la masse m
et de la constante K. Nommer les deux termes qui interviennent dans
cette expression.
4.2. Calculer Em à l'instant initial t = 0. 4.3. En déduire la valeur de la vitesse v lors du passage de G par la
position d'équilibre.
5. En travaux pratiques, un montage quelque peu différent de celui de la
figure 1 annexe est réalisé : sur une table à coussin d'air, on utilise 2
ressorts au lieu d'un seul (voir figure 4 en annexe à remettre avec la
copie). L'enregistrement du mouvement est donné en figure 5 en annexe. On
montre que ce système à une masse et deux ressorts est équivalent à celui
constitué de la même masse et d'un seul ressort de constante de raideur
Keq. L'enregistrement de la figure 5 en annexe a été réalisé avec les valeurs
suivantes :
K1 = 10 N.m-1, K2 = 20 N.m-1 et m = 100 g. 5.1. Quel est l'intérêt pratique d'utiliser deux ressorts au lieu d'un
? 5.2. En utilisant le graphique de la figure 5 en annexe, montrer que
Keq vérifie la relation Keq = K1 + K2. 6. Proposer une méthode permettant de déterminer la valeur d'une masse en
état d'impesanteur.
ANNEXES
(à remettre avec la copie) [pic]
[pic]
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Figure 1 5 cm x support plan Figure 2 O y G G K1 K2 G Figure 4