Géométrie dans l'espace en terminale S

Géométrie dans l'espace en terminale S
Sommaire
Sujets ÉduSCOL 15. Distance de deux droites dans l'espace
33. Section plane d'un tétraèdre et optimisation d'une distance
11. Plans perpendiculaires (2004)
23. Cube
24. Tétraèdre
19. Problème de Bergson Groupe de mutualisation 7. Les ambiguïtés de la perspective cavalière
8. Solides définis par leurs équations
9. Distribuer une section de cube déjà construite Faire des maths ... avec GéoPlan-GéoSpace : http://debart.pagesperso-
orange.fr Ce document Word : http://www.debart.fr/doc/geospace_terminale.doc
Document PDF : http://www.debart.fr/pdf/geospace_terminale.pdf
Page HTML : http://debart.pagesperso-
orange.fr/geospace/geospace_terminale.html Document no 106, réalisée le 21/3/2007, mis à jour le 17/1/2008 Sujets ÉduSCOL (2007)
15. Distance de deux droites dans l'espace ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 015
Situation
On définit, dans l'espace, deux droites particulières (OB) et (AC) non
coplanaires.
On désigne par M un point variable de la droite (OB) et par N un point
variable de (AC). Il s'agit de déterminer le minimum de la distance MN.
[pic]
Déplacer avec GéoSpace les points M et N afin de déterminer le minimum de
la distance MN.
Déplacer les droites (d1) et (d2) en cliquant sur les extrémités des
segments les représentant. Fiche élève . L'espace est rapporté à un repère orthonormal.
À l'aide d'un logiciel de géométrie dans l'espace, faire figurer les
points A(-2 ; -2 ; 0) ;
B(1 ; 1 ; 0) ; C(1 ; -1 ; 1) et D(-1 ; 1 ; 1), les droites (AB) et
(CD),
un point M mobile sur la droite (AB) et un point N mobile sur la
droite (CD).
. Afficher la distance MN et essayer de placer des points M et N de
façon à minimiser cette distance.
Donner une valeur approximative de cette distance minimale.
. Combien de couples de points (M ; N) répondant à cette condition de
distance minimale semble-t-il y avoir ? Afficher les coordonnées de
ces points.
. Quelles semblent être les positions respectives des droites (MN) et
(AB) d'une part, et (MN) et (CD) d'autre part ?
Mettre en évidence cette conjecture, à l'aide du logiciel.
Calculer MN2. (On pourra écrire [pic] = t [pic] et [pic] = k [pic]).
Vos résultats confirment-ils certaines de vos conjectures ?
Indications : [pic] = [pic]+ [pic]+ [pic] = - t [pic]+ [pic]+ k [pic] avec
[pic](3 ; 3 ; 0), [pic](3 ; 1 ; 1) et [pic](-2 ; 2 ; 0),
d'où [pic](-3t +3 -2k ; -3t + 1 + 2k, 1) et MN2 = (-3t +3 -2k)2 + (-3t + 1
+ 2k)2 + 12.
MN est minimal si -3t +3 -2k = 0 et -3t + 1 + 2k = 0.
Ce système admet la solution t = [pic] et k = [pic] correspondant aux
points M(0 ; 0 ; 0) et N(0 ; 0 ; 1).
MN =1 et [pic](0 ; 0 ; 1) est orthogonal à [pic] et [pic] ; la droite (MN)
est la perpendiculaire commune à (AB) et (CD).
Commentaires : Les droites sont deux diagonales de faces d'un
parallélépipède rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. Ces
calculs sont un peu compliqués en regard de la facilité des droites
données. Et encore, le texte original proposait O comme point A et le point
de coordonnées (0 ; 0 ; 1) pour D : Quelle note mériterait l'élève qui,
sans calcul, remarquerait que les deux droites sont contenues dans les
plans d'équations z = 0 et z =1 ; OD =1, étant égal à distance des deux
plans, est la distance minimale entre les deux droites ?
Tracé de la perpendiculaire commune à deux droites
(d1) et (d2) étant deux droites non coplanaires de l'espace, il existe une
droite et une seule, perpendiculaire à ces deux droites.
Pour la construire, la méthode consiste à choisir un point A sur (d1) et à
tracer une droite (d3) parallèle à (d2) passant par A. Les droites (d1) et
(d3) déterminent un plan (p) contenant A.
Soit (?) la perpendiculaire commune à (d1) et (d3) passant par A. (?) est
la perpendiculaire en A au plan (p). (?) et (d1) déterminent un plan (q)
perpendiculaire à (p).
Le plan (q) coupe (d2) en N. Dans le plan (q), la parallèle à (?) passant
par N coupe (d1) en M.
(MN) est la perpendiculaire commune recherchée. MN est la distance minimum
entre deux droites.
Compétences évaluées
Compétences TICE
- Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dans l'espace ;
- Utiliser l'aspect dynamique pour faire des conjectures.
Compétences mathématiques
- Connaître la représentation paramétrique d'une droite ;
- Maîtriser l'orthogonalité dans l'espace. 33.Section plane d'un tétraèdre et optimisation d'une distance ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2007 - Sujet 033
Situation
Dans l'espace, on donne un tétraèdre OABC et le milieu I de [AB]. Soit M un
point quelconque du segment [AC]. Le plan passant par I et orthogonal à la
droite (IM) coupe la droite (OB) en N. On cherche à minimiser la distance
MN.
La figure section_tetraedre importe( Menu >Piloter>Importer) la valeur de x
de la figure de droite tetraedre_fct à condition que x soit défini
section_tetraedre, bien qu'il soit borné entre 0 et 1 dans tetraedre_fct
(pour permettre d'afficher la courbe comme lieu de points).
|[pic] |[pic] |
Compétences évaluées
Compétences TICE
- Constructions géométriques et mesures avec un logiciel de géométrie
dynamique.
Compétences mathématiques
- En géométrie analytique : calcul de la distance de deux points de
l'espace ;
- Recherche d'un extremum d'une fonction. 11. Plans perpendiculaires (2004) ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 11
L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O, [pic], [pic], [pic]).
. Déterminer une équation du plan P passant par le point A(1,0,1) et de
vecteur normal
[pic](-1, 1, 1).
. Soit P' le plan d'équation :
x + 2y - z + 1 = 0 et M le point de coordonnées (0, 1, 1 ).
Sachant que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur non nul normal à
l'un est orthogonal à un vecteur non nul normal à l'autre, démontrer que
les plans P et P' sont perpendiculaires.
Calculer les distances d et d' du point M aux plans P et P' respectivement.
. Donner une représentation paramétrique de la droite D intersection des
plans P et P'.
Déterminer les coordonnées du point H de D tel que la droite (MH) soit
perpendiculaire à la droite D.
Vérifier que MH2 = d2 + d'2.
Indications
GéoSpace permet de faire la figure et de réaliser des calculs.
En plaçant le point B de coordonnées (0, 1, 2), le plan P est alors
orthogonal au vecteur [pic] et a pour équation -x + y + z = 0.
Le plan P' a pour vecteur normal [pic]'(1, 2, -1). Le produit scalaire
[pic].[pic]'= -1×1 + 1×2 + 1×(-1) est nul, ces vecteurs sont orthogonaux et
les plans P et P' sont perpendiculaires.
Le point N, projection orthogonale de M sur P, a pour coordonnées ([pic],
[pic], [pic]) car [pic] est le vecteur directeur la droite (MN); MN2 =
[pic].
Le point N', projection orthogonale de M sur P', a pour coordonnées (-
[pic], [pic], [pic]) ; MN'2 = [pic].
Les équations paramétriques de la droite D sont : x = k, y = -[pic], z = k
+[pic].
Le plan Q passant par M orthogonal à D a pour équation x + z = 1.
Pour k =[pic], on trouve le point H de coordonnées ([pic], -[pic], [pic]) ;
MH2 = 2. [HM] est la diagonale du rectangle MNHN'. MH2 = d2 + d'2 se
vérifie par une relation de Pythagore. 23. Orthogonalité dans le cube ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 23
On considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur a (a réel strictement
positif).
Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).
1. Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants :
[pic].[pic], [pic].[pic], [pic].[pic]
2. En déduire que les vecteurs [pic] et [pic] sont orthogonaux.
On admettra de même que les vecteurs [pic] et [pic]sont orthogonaux.
3. En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur le plan
(AFH).
4. Justifier les résultats suivants : les droites (AF) et (EH) sont
orthogonales, ainsi que les droites (AF) et (EI).
En déduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite (HI).
Établir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI).
5. Que représente le point I pour le triangle AFH ? Variante
La droite (AF) perpendiculaire à deux côtés du triangle BCE est
perpendiculaire au plan (BCE) et en particulier à la droite (EC).
De même, la droite (FH) perpendiculaire à deux côtés du triangle CEG est
perpendiculaire au plan (CEG) et en particulier à la droite (EC).
(EC) perpendiculaire aux deux droites concourantes (AF) et (FH) est
perpendiculaire au plan (AFH). b. Généralisation (EC) grande diagonale du cube est orthogonale aux plans (AFH) et (BDG). Ces
deux plans sont parallèles.
La droite (EC) perce les triangles équilatéraux AFH et BDG en leurs centres
I et J.
EI = IJ = JC. c. Milieu Si O est le milieu du carré ABCD, La droite (EO) rencontre le plan (AFH) au
point K.
Ce point est le milieu de [EO].
Indication
Si O' est le milieu du carré EFGH, dans le plan (EAC) K est le point
d'intersection des diagonales du rectangle EAOO'.
Brique de jus d'orange
[pic]
Jean Paul Guichard - Corol'aire 71 - décembre 2007
Pour lancer sa nouvelle marque de jus d'orange, un fabricant souhaite
utiliser un emballage comme ci-dessus.
Le solide peut être considéré comme un cube dont on a ôté deux coins en
forme de tétraèdre.
Quelle doit être, au mm près, la longueur de l'arête du cube pour que le
volume de ce conditionnement soit d'un demi-litre ?
Soit a cette longueur, les coins du cube ont pour volume [pic],
le volume du solide est a3 - 2 [pic]=[pic].
Pour un volume de 0,5 L, on trouve a = 9,1 cm arrondi au mm le plus proche. 24. Tétraèdre ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2004 - Sujet 24
L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; [pic], [pic], [pic]). On
considère les points A, B, C et