Optique Géométrique

OPTIQUE GEOMETRIQUE
Résumé de Cours


I.PRINCIPE DE FERMAT :

A. Définitions :
Sauf exception (cas du prisme), on travaille en lumière monochromatique. On
a :

[pic]

La phase [pic] étant la partie spatiale de l'argument de la vibration
lumineuse f, solution des équations de propagation, le vecteur d'onde [pic]
est tangent en tout point aux rayons lumineux qui constituent un réseau de
courbes orthogonales aux surfaces d'onde [pic](analogies lignes de champ -
équipotentielles).

La vitesse locale v(M) de la lumière ne dépend que de l'indice de
réfraction local n(M). La quantité dL (différentielle du chemin optique)
représente donc la distance c.dt que parcourrait la lumière dans le vide
dans le même temps.

Le chemin optique LR, mesuré le long du rayon lumineux R limité par les
points A & B, peut donc s'exprimer de trois façons différentes. La
dernière, obtenue en utilisant la relation de dispersion [pic], utilise la
propriété de circulation conservative du gradient & montre que le chemin
optique ne dépend que des valeurs de la phase au départ & à l'arrivée &
donc :

Le chemin optique est nul sur une surface d'onde ;
Les chemins optiques sur les rayons R1 & R2 limités aux surfaces d'onde (1
& (2 sont égaux (théorème de Malus) ;

B. Principe de Fermat : Enoncé :

Le trajet effectivement suivi par la lumière pour aller de A en B est
tel que l'intégrale du chemin optique soit STATIONNAIRE (minimale,
maximale ou inflexionnelle).

Conséquences :

a). D'après la première expression du chemin optique, le Principe de Fermat
implique donc que la lumière emprunte le chemin le plus rapide.

b). Si l'intégrale est stationnaire de A vers B, elle l'est aussi de B vers
A : c'est le Principe du Retour Inverse, traduisant le fait que l'équation
d'onde ne fait intervenir que V2 (& donc autorise les deux sens de
propagation).

c). Dans les milieux homogènes (seuls au programme), n = cste sort de
l'intégrale & la longueur de AB doit être extrémale donc : dans un milieu
homogène, la lumière se propage en ligne droite.

Remarque : dans les milieux non homogènes, les rayons lumineux se courbent
pour passer par les zones où n est faible, donc v élevée, pour diminuer le
temps de parcours : application aux mirages.

d). Si tous les rayons lumineux issus du point source A convergent au point
B après traversée d'un système optique S quelconque, ce système est dit
stigmatique pour le couple de points A & B (B étant alors l'image de A par
S, rôles symétriques en vertu du Principe du retour inverse). A & B étant
des surfaces d'onde de rayon nul, le théorème de Malus donne la condition
de stigmatisme : LAB = cste.

e). Le Principe de Fermat régit toute l'optique géométrique (en échange, il
ne peut expliquer le phénomène de diffraction), & en
particulier il est possible d'en déduire les lois de Descartes : en
écrivant que les chemins optiques ACB des deux figures sont stationnaires,
on obtient :


[pic]
[pic]
[pic]

Il en résulte qu'on passe formellement de la réflexion à la réfraction en
changeant n2 en - n1.
II. PRISME :


[pic]
Le prisme est un milieu réfringent homogène, d'indice n, faisant un dièdre
de rectiligne A (angle du prisme), toujours placé dans l'air. Il provoque
la déviation d'un faisceau monochromatique & (de plus) la dispersion d'une
lumière blanche.

A. Formules du prisme :

[pic]

Ces formules supposent une double orientation (cf figure), alors tous les
angles sont positifs. Les deux premières traduisent la loi de la réfraction
aux points I & I', la troisième & la quatrième que la somme des angles d'un
triangle (respectivement II'M & II'N) vaut 180 degrés.

Remarque : pour les petits angles (cf plus loin conditions de Gauss), la
loi de Descartes [pic] tend vers la loi de Képler : i = n.r.

B. Conditions d'émergence : si [pic], alors r = l (angle limite) avec
[pic]. Inversement, si on a [pic], il y a réflexion totale car i' ne peut
excéder 90°. On aura donc les conditions ( r = A - l si r' = l) :

[pic]


C. Minimum de déviation : on différencie les formules du prisme à n & A
constants. On obtient :

[pic]

Il en résulte qu'au minimum de déviation, le trajet de la lumière est
symétrique par rapport au plan bissecteur de A. La dernière formule est
utilisée en Travaux Pratiques pour mesurer l'angle du prisme.

D. Dispersion : on différencie les formules du prisme à A & i constants
(n variant par l'intermédiaire de la longueur d'onde (). On obtient :

[pic]

où [pic], valeur de i au minimum de déviation. Selon la loi de Cauchy :
[pic], où C1 & C2 sont des constantes positives, & donc [pic], & donc : le
violet est le plus dévié.

III. DIOPTRES & MIROIRS :

A. L'approximation linéaire de l'optique : la condition de stigmatisme
rigoureux [pic] étant très forte (seul le miroir plan la réalise pour tout
point), on recherche une condition moins forte, dite "stigmatisme
approché', correspondant aux conditions de Gauss :

La condition de stigmatisme approché est vérifiée pour tous les rayons
paraxiaux (faiblement inclinés sur l'axe), donc tels que : [pic].

Conséquences :

a). La condition de Gauss est réalisée dans les objectifs photographiques
du type télé - objectif, mais pas dans ceux du type grand-angle.

b). Si u devient trop grand, le rayon émergent ne passe plus par A' (cf
figure).

c). Les surfaces des miroirs & dioptres (constituant les lentilles) ne
peuvent être que planes ou sphériques (limitations du programme) ; dans les
conditions de Gauss, si u est infiniment petit principal, IH est d'ordre 1
& SH d'ordre 2 (cf figure) & donc en négligera la courbure des surfaces
dans les conditions de Gauss.

[pic]
[pic]


B. Dioptre sphérique : l'étude du dioptre sphérique n'est pas au
programme (alors que celle du miroir sphérique l'est). C'est toutefois un
excellent exercice d'application du Principe de Fermat que d'établir sa
formule de conjugaison, ce qui permet alors d'en déduire celles du miroir
sphérique, du dioptre & miroir plans.


a. Formule de Descartes : simple origine au sommet S. On pose alors
(valeurs algébriques, cf conventions d'orientation sur la figure) : SA1 =
p1, SA2 = p2, SC = R, SH = x. Le Principe de Fermat se traduit par [pic]
pour x