Exercice 2

Année académique 2002-2003 :
Statistiques : Corrigé de la 2ème séance
Paramètres de dispersion, courbes de Lorenz et indices de Gini




Exercice 2.6


On peut dresser le tableau suivant:

|Classes |xj |Fj |C(xj ) |xjFj |[pic] |[pic] Fj |
|5 10 |7.5 |8 |8 |60 |6.15 |49.20 |
|10 15 |12.5 |69 |77 |862.5 |1.15 |79.35 |
|15 20 |17.5 |15 |92 |262.5 |3.85 |57.75 |
|20 25 |22.5 |8 |100 |180 |8.85 |70.80 |
|Total | |100 | |1365 | |257.10 |

a) Les déciles séparent les observations en 10 parties égales.

[pic]

Par interpolation linéaire (si variable quantitative continue) , on
obtient:
[pic]
Interprétation : 10% des chômeurs complets indemnisés de sexe féminin ont
une allocation mensuelle inférieure ou égale à 10 milliers de FB.
(10.1449 milliers de FB)

b) Les terciles séparent les observations en trois parties égales.

[pic]

Par interpolation linéaire, on obtient:
[pic]

Interprétation : 1/3 des chômeurs complets indemnisés de sexe féminin ont
une allocation mensuelle inférieure ou égale à 12 milliers de FB.
(11.8457 milliers de FB)

c) I = Q3 - Q1

[pic]


Q1 classe [10 15]

[pic]

Q3 classe [10 15]

[pic]

[pic](milliers de FB)

Interprétation : L'écart qui existe entre les deux valeurs qui bornent la
partie centrale de la distribution (définie comme celle qui comprend 50%
des observations) est de 3.6232 (milliers de FB).

d) [pic]
[pic]
Interprétation : En moyenne, les chômeurs complets indemnisés de sexe
féminin s'écartent, du point de vue de leur allocation mensuelle, de 2.571
(milliers de FB) en plus ou en moins de l'allocation moyenne de 13.65
(milliers de FB).



Exercice 2.13


|xj |Fj |xjFj |xj²Fj |
|100 |50 |5 000 |500 000 |
|120 |30 |3 600 |432 000 |
|160 |80 |12 800 |2 048 000 |
|Total |160 |21 400 |2 980 000 |



Exercice 3.6


Après avoir analysé les différents renseignements mentionnés dans l'énoncé,
on se rend compte qu'on peut directement dresser les tableaux suivants:

A. Pour la distribution des revenus des ménages belges
|Classes |c(xj)=zi |g(xj) |G(xj)= yi|zi-1 yi |yi-1 zi |
|Classe 1 |0.2 |0.08 |0.08 |- |- |
|Classe 2 |0.4 |0.14 |0.22 |0.044 |0.032 |
|Classe 3 |0.6 |0.19 |0.41 |0.164 |0.132 |
|Classe 4 |0.8 |0.23 |0.64 |0.384 |0.328 |
|Classe 5 |1.0 |0.36 |1.00 |0.800 |0.640 |
|total | | | |1.392 |1.132 |





(Remarque(: Nous traitons ici un cas un peu particulier puisque chaque
classe à même proportion (20%) dans la population totale !!!

B. Pour la distribution des revenus des ménages brésiliens

|classes |c(xj)=zi |yi |zi-1 yi |yi-1 zi |
|Classe 1 |0.2 |0.02 |- |- |
|Classe 2 |0.4 |0.07 |0.0140 |0.0080 |
|Classe 3 |0.6 |0.16 |0.0640 |0.0420 |
|Classe 4 |0.8 |0.33 |0.1980 |0.1280 |
|Classe 5 |1.0 |1.00 |0.8000 |0.3300 |
|total | | |1.076 |0.508 |



=> Bel. < Brésil

Il apparaît donc que la distribution des revenus est beaucoup plus
inégalitaire au Brésil qu'en Belgique.

Courbes de Lorenz
[pic][pic]


Exercice 3.7

Il s'agit d'étudier l'égalité dans la répartition du nombre de km² par
habitant (ici la variable x) en utilisant le schéma de la courbe de Lorenz.

N.B. : la construction de la courbe de Lorenz nécessite que les données
soient ordonnées. Les unités statistiques les plus défavorisées étant ici
bien entendu les continents dont la densité de population est la plus
forte, c'est-à-dire pour lesquels le nombre de km² par habitant est le plus
faible.


Pour construire la courbe de Lorenz, il peut être utile de dresser le
tableau suivant :

| |xi = |Fi |fi |c(Xi)=z|xi Fi |g(xi) |G(xi)=y|
| |nombre de |(millions| |i |(millions| |i |
| |km² par |) | | |) | | |
| |habitant | | | | | | |
|Asie |1/101 |2777 |0.5831|0.5831 |27.4950 |0.2043|0.2043 |
|Europe |1/99 |490 |0.1029|0.6860 |4.9494 |0.0368|0.2411 |
|Afrique |1/18 |537 |0.1128|0.7987 |29.8333 |0.2217|0.4628 |
|Amérique|1/16 |658 |0.1382|0.9369 |41.1250 |0.3056|0.7684 |
|URSS |1/12 |276 |0.0580|0.9949 |23.0000 |0.1706|0.9393 |
|Océanie |1/3 |24.5 |0.0051|1.000 |8.1667 |0.0607|1.0000 |
| |Total |4762.5 |1.0000| |134.5695 | | |

|zj-1 yj |zj yj-1 |
| | |
|0.1406 |0.1402 |
|0.3175 |0.1926 |
|0.6137 |0.4336 |
|0.8800 |0.7644 |
|0.9949 |0.9393 |
|2.9467 |2.4701 |(= 0.4766 |

La courbe de Lorenz est représentée ci-dessous. Elle nous donne une
indication relative à la valeur de l'indice de Gini en 1984. En effet,
l'indice de Gini n'exprime rien d'autre que le rapport de deux aires
déterminées par la courbe de Lorenz : ( = (aire OAC)/(aire OAB).





On peut donc comparer le degré d'inégalité dans la répartition de l'espace
terrestre de 1970 avec celui de 1984. Ainsi, si en 1970, ( = 0.2, il
semblerait qu'en 1984, ( ait une valeur supérieure, c'est-à-dire que la
distribution est davantage concentrée et donc que la répartition de
l'espace terrestre entre les différents continents et l'URSS est devenue
plus inégalitaire. Ceci est dû au fait que les pays ont connu des taux de
croissance de leur population très différents.

Exercices supplémentaires

Afin de vous préparer aux mieux à l'examen ainsi qu'au test, voici les
corrigés de deux exercices supplémentaires.

Exercice 3.4
a) Deux séries cumulées sont utilisées dans la construction de la courbe :
- celles des effectifs cumulés ou la fonction de répartition des fréquences
(C(xj) ou c(xj) (en abscisse) ;
- celles des valeurs observées (xj.Fj), triées en ordre croissant de xj,
cumulées exprimées en pourcentage du total à répartir (G(xj), cumul des
g(xj)) (en ordonnée).
g(xj) = (xjFj)/Tot et Tot=(xjFj


+ Carré de Gini (de 1 sur 1)


Distribution des revenus sans indemnisation des chômeurs


|xj |Fj|fj |C(x|c(xj)=|xjFj |g(xj) |G(xj)=yj|
| | | |j) |zj | | | |
|0 |9 |0.1304 |9 |0.1304|0 |0.0000 |0.0000 |
|1000 |30|0.4348 |39 |0.5652|30000 |0.3333 |0.3333 |
|2000 |30|0.4348 |69 |1.0000|60000 |0.6667 |1.0000 |
|Total|69|1.0000 | | |90000 | | |




Calcul de l'indice de Gini
( = ( (zj-1yj - yj-1z j)
|zj-1 |zj |zj-1yj - |
|yj |yj-1 |yj-1z j |
| | | |
|0.0435|0.0000|0,0435 |
|0.5652|0.3333|0,2319 |
|0.6087|0.3333|(=0.2754 |


Distribution des revenus avec indemnisation des chômeurs

|Xj |Fj |fj |C(xj) |c(xj)=|xjFj |g(xj) |G(xj)=yj|
| | | | |zj | | | |
|450 |9 |0.1304|9 |0.1304|4050 |0.0450 |0.0450 |
|955 |30 |0.4348|39 |0.5652|28650 |0.3183 |0.3633 |
|1910 |30 |0.4348|69 |1.0000|57300 |0.6367 |1.0000 |
|Total |69 | | | |90000 | | |

|zj-1 |zj |zj-1yj - |
|yj |yj-1 |yj-1z j |
| | | |
|0.0474|0.0254|0.0217 |
|0.5652|0.3633|0.2015 |
|0.6126|0.3887|(=0.2239 |

b) La représentation des courbes de Lorenz (cf. ci-dessus) indique
clairement que l'assurance chômage induit une plus grande égalité dans la
distribution des revenus. Cette impression graphique est confirmée par
l'indice de Gini puisque (1((2.
L'assurance chômage a donc un effet redistributif certain.
.


Exercice 3.8
|xj |Fj |fj |C(xj) |c(xj)=z|xjFj |g(xj) |G(xj)=yj|
| | | | |j | | | |
|5.5586E-0|5.8E+08|0.2354 |5.8E+08 |0.2354 |32406.8927 |0.0210 |0.0210 |
|5 | | | | | | | |
|1.6681E-0|1.2E+09|0.4703 |1.7E+09 |0.7057 |194328.6072 |0.1260 |0.1470 |
|4 | | | | | | | |
|1.8051E-0|7.3E+08|0.2943 |2.5E+09 |1.0000 |1315884.4765|0.8530 |1.0000 |
|3 | | | | | | | |
|Total |2.5E+09|1.0000 | | |1542619.9764| | |


Nous constatons que l'aire entre la diagonale et la courbe est assez
importante par rapport au triangle, cela signifie que la distribution de la
distribution de l'accès est très inégalitaire. Cela n'est pas surprenant
étant donné que les pays à faible revenu ont un nombre de médecins
négligeable par habitant en comparaison avec les pays industrialisés.

|zj-1 yj|zj yj-1|zj-1yj - yj-1z |
| | |j |
| | | |
|0.0346 |0.0148 | |
|0.7057 |0.1470 | |
|0.7403 |0.1618 |(=0.5785 |












DEMARCHE A RETENIR DE CE TP ! ! !


. Pour le calcul des terciles, quartiles, quintiles, déciles,
percentiles,... adaptez correctement la formule (interpolation linéaire)
de la médiane !!!
. Pour le calcul des différents paramètres, il faut, avant tout, bien
comprendre la signification des diffé