1 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE I. Calculs d'angles et de ...

APPLICATIONS
DU PRODUIT SCALAIRE I. Calculs d'angles et de longueurs 1) Calculs d'angles
Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire [pic] Vidéo https://youtu.be/ca_pW79ik9A [pic] Calculer la mesure de l'angle [pic]. On a :
[pic] On a également : [pic] et [pic], donc :
[pic]5 x (-2) + (-1) x (-4) = -6 On a ainsi : [pic]
Et donc : [pic]
Et : [pic]
2) Théorème de la médiane
Propriété : Soit deux points A et B et I le milieu du segment [AB].
Pour tout point M, on a : [pic] Démonstration :
[pic] Exemple : [pic] Vidéo https://youtu.be/NATX4evtOiQ
[pic]
On souhaite calculer la longueur de la médiane issue de C.
D'après le théorème de la médiane, on a :
[pic], donc :
[pic]
Donc : [pic]. 3) Théorème d'Al Kashi Théorème : Dans un triangle ABC, on a, avec les notations de la figure :
[pic]
[pic] Démonstration :
[pic]
et
[pic]
donc :
[pic]
soit :
[pic] [pic] Vidéo https://youtu.be/-cQQAjHJ0Kc A Samarkand, le savant perse Jemshid ibn Massoud al Kashi (1380 ; 1430) vit
sous la protection du prince Ulugh-Beg (1394 ; 1449) qui a fondé une
Université comprenant une soixantaine de scientifiques qui étudient la
théologie et les sciences.
Dans son Traité sur le cercle (1424), al Kashi calcule le rapport de la
circonférence à son rayon pour obtenir une valeur approchée de 2( avec une
précision jamais atteinte. Il obtient 9 positions exactes en base 60 soit
16 décimales exactes :
2( ? 6,283 185 307 179 586 5 II. Equation de droite et équation de cercle On se place dans un repère orthonormé [pic] du plan. 1) Equation de droite de vecteur normal donné Définition : Soit une droite d.
On appelle vecteur normal à une droite d, un vecteur non nul orthogonal à
un vecteur directeur de d.
[pic] Exemple :
Soit la droite d d'équation cartésienne [pic].
Un vecteur directeur de d est : [pic].
Un vecteur normal [pic] de d est tel que : [pic]
Soit : [pic].
a = -2 et b = 3 conviennent, ainsi le vecteur [pic] est un vecteur normal
de d.
Propriétés : - Une droite de vecteur normal [pic] admet une équation
cartésienne de la forme [pic] où c est un nombre réel à déterminer.
- Réciproquement, la droite d d'équation cartésienne [pic] admet le vecteur
[pic] pour vecteur normal. Démonstrations :
- Soit un point A[pic] de la droite d.
M[pic] est un point de d si et seulement si [pic] et [pic] sont
orthogonaux.
Soit : [pic]
Soit encore : [pic]
[pic].
- Si [pic] est une équation cartésienne de d alors [pic] est un vecteur
directeur de d.
Le vecteur [pic] vérifie : [pic]. Donc les vecteurs [pic] et [pic] sont
orthogonaux.
Méthode : Déterminer une équation de droite connaissant un point et un
vecteur normal [pic] Vidéo https://youtu.be/oR5QoWCiDIo Dans un repère orthonormé [pic] du plan, on considère la droite d passant
par le point [pic] et dont un vecteur normal est le vecteur [pic]. Déterminer une équation cartésienne de la droite d.
Comme [pic] est un vecteur normal de d, une équation cartésienne de d est
de la forme [pic]. Le point [pic] appartient à la droite d, donc : [pic] et donc : [pic].
Une équation cartésienne de d est : [pic]
2) Equation de cercle Propriété : Une équation du cercle de centre [pic] et de rayon r est :
[pic] Démonstration :
Tout point [pic] appartient au cercle de centre [pic] et de rayon r si et
seulement [pic].
Méthode : Déterminer une équation d'un cercle [pic] Vidéo https://youtu.be/Nr4Fcr-GhXM Dans un repère orthonormé [pic] du plan, on considère le cercle C de centre
[pic] et passant par le point [pic].
Déterminer une équation du cercle C.
Commençons par déterminer le carré du rayon du cercle C :
[pic]
Une équation cartésienne du cercle C est alors : [pic]. Méthode : Déterminer les caractéristiques d'un cercle [pic] Vidéo https://youtu.be/nNidpOAhLE8 Dans un repère orthonormé [pic] du plan, on considère l'ensemble (
d'équation :
[pic].
Démontrer que l'ensemble ( est un cercle dont on déterminera les
caractéristiques (centre, rayon).
[pic] L'ensemble ( est le cercle de centre le point de coordonnées (1 ; 5) et de
rayon 3.
III. Formules de trigonométrie 1) Formules d'addition Propriété : Soit a et b deux nombres réels quelconques. On a :
[pic] Démonstration : - 1ère formule :
On considère un repère orthonormé [pic] du plan et le cercle
trigonométrique de centre O.
[pic] et [pic] sont deux vecteurs de norme 1 tels que : [pic] et [pic]. On a alors : [pic] et [pic].
Ainsi : [pic].
On a également : [pic]
D'où [pic]. - 2e formule :
[pic] - 3e formule :
[pic] - 4e formule :
[pic] Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules
d'addition [pic] Vidéo https://youtu.be/WcTWAazcXds Calculer [pic] et [pic].
[pic] [pic]
2) Formules de duplication Propriété : Soit a un nombre réel quelconque. On a :
[pic] Démonstrations :
Cas particulier des 2e et 4e formules d'addition dans le cas où [pic] :
[pic] On a également : [pic] donc :
[pic]
Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules de
duplication [pic] Vidéo https://youtu.be/RPtAUl3oLco Calculer [pic] et [pic].
- [pic] donc [pic]
et donc : [pic], car [pic] est positif. - [pic]
et donc : [pic], car [pic] est positif. Méthode : Résoudre une équation trigonométrique [pic] Vidéo https://youtu.be/yx3yULqR_wI Résoudre dans [pic] l'équation [pic].
[pic] soit [pic].
On pose [pic], l'équation s'écrit alors : [pic]
Soit : [pic] [pic]
L'équation du second degré possède deux solutions distinctes :
[pic] et [pic] Résolvons donc dans [pic] les équations : [pic] et [pic] :
[pic].
[pic]. Ainsi : [pic].
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