EXERCICE III : Les dominos ( 4 points)

EXERCICE III : LES DOMINOS (4 points)
Antilles Guyane 09/2009 Correction ©
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1. Équation de la trajectoire
1.1. En négligeant les frottements solides et fluides, la bille est soumise
à son poids [pic] entre les points O et M exclus.

1.2. Le système {bille} est étudié dans le référentiel terrestre supposé
galiléen. La deuxième loi de Newton impose alors : [pic] ( [pic]
finalement : [pic].
1.3. On a [pic] donc [pic]
d'après les conditions initiales [pic]
finalement : [pic] . On isole le temps « t » de la première équation que
l'on reporte dans la seconde : t = [pic] ( y(x) = [pic]
finalement : y(x) = [pic]
1.4. Au point M : yM = [pic] ( [pic]
En remarquant que yM < 0 et en ne conservant que la valeur positive de v0 ,
il vient : [pic]
[pic]= 2,0 m.s-1.

2. Solutions techniques pour que la bille arrive en O avec la vitesse [pic]
2.1. Utilisation d'un plan incliné
2.1.1. L'énergie mécanique EM est la somme de l'énergie cinétique EC =
½.m.v² et de l'énergie potentielle de pesanteur EP = m.g.y (compte tenu de
l'orientation de l'axe Oy et de l'origine de l'énergie potentielle de
pesanteur Ep(y=0) = 0 J). Ainsi :
EM = ½.m.v2 + m.g.y

Energie mécanique en A : EM(A) = ½.m.v2A + m.g.yA
Or vA = 0 m.s-1 car la bille est lâchée du point A sans vitesse initiale
donc : EM(A) = m.g.yA

2.1.2. Energie mécanique en B : EM(B) = ½.m.v2B + m.g.yB
Or yB = 0 m donc EM(B) = ½.m.v2B.

2.1.3. Le système {bille-Terre} étant conservatif, l'énergie mécanique se
conserve au cours du mouvement, ainsi : EM(A) = EM(B) (
m.g.yA = ½.m.v2B
finalement avec v0 = vB: yA = [pic]
2.1.4. yA = [pic] = 0,20 m
2.2. Utilisation d'un canon à bille

2.2.1. La force de rappel [pic]exercée par le ressort sur la bille a pour
expression : [pic]
remarque : comme x < 0 alors [pic] est orientée dans le même sens que le
vecteur [pic].

2.2.2. On a : [pic]
comme x < 0 alors [pic] possède un sens opposé au[pic].








2.2.3. Le vecteur force [pic] n'étant pas constant au cours de la
compression, le travail de la force [pic] ne s'écrit pas WOC([pic]) = [pic]
Par contre lorsque le point C se déplace d'une longueur élémentaire dx
(entre x et x + dx), alors on peut considérer la force [pic] constante. On
peut alors définir le travail élémentaire (W([pic]) :
(W([pic]) = [pic] avec [pic] (avec dx < 0).
(W([pic]) = (k.x.[pic]).[pic]= k.x.dx car [pic].[pic]= 1.
En considérant maintenant le déplacement du point C entre x = 0 et x =xC on
a :
WOC([pic]) = [pic]= [pic]= [pic] - 0 = [pic]

2.2.4. L'énergie potentielle élastique du ressort est entièrement convertie
en énergie cinétique pour la bille (énoncé). On peut alors écrire :
[pic] = [pic]
( [pic] en ne gardant ici que la solution négative car xc < 0 !

2.2.5. xC = - [pic]= - 6,9 ( 10-2 m = - 6,9 cm.
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[pic]

[pic]

[pic]
[pic]

[pic]
[pic]