Agrégation Interne 2002

Agrégation Interne 2002
Exercices d'induction
Corrigé
Exo n°1 :
1. On fournit de l'énergie mécanique, donc le système est un générateur, &
la force de Laplace sera résistante. On est dans le cas de Lorentz : [pic].
Le vecteur vitesse est suivant Ox, donc le champ électromoteur est dirigé
de B vers A. On a : [pic]. D'où l'équation électrique :
[pic]. Force de Laplace résistante : [pic], dirigée vers les x < 0. D'où
l'équation mécanique : [pic]. 2. Bilan de puissances : on forme les combinaisons [pic] & [pic]. On
obtient :
[pic], & [pic]. Comme le condensateur n'est pas chargé à t = 0, il se
charge, & donc : [pic]. On élimine le terme de couplage [pic] & on obtient
le bilan de puissances sous la forme générale : [pic], où la puissance
fournie en régime permanent est nulle (système isolé, apport d'énergie
cinétique à t = 0 seulement), la puissance dissipée dans les pertes vaut
[pic], & le système stocke de l'énergie cinétique de translation & de
l'énergie potentielle électrostatique : [pic]. 3. On dérive l'équation électrique pour se débarrasser de q : [pic], & on
élimine [pic] avec l'équation mécanique : [pic], avec [pic]. Par
intégration : [pic]. A t = 0, q = 0, & l'équation électrique devient [pic],
soit finalement :
[pic]. L'équation mécanique donne : [pic]. On intègre : [pic]. Avec la
condition initiale, on obtient : [pic]. 4. 1. On fournit de l'énergie électrique, donc le système est un moteur, &
la force de Laplace sera motrice, donc dirigée vers les x > 0. D'où
l'équation mécanique : [pic].On est dans le cas de Lorentz : [pic]. Le
vecteur vitesse est suivant Ox, la force a changé de sens & le courant
aussi (c'est le courant de décharge du condensateur) donc le champ
électromoteur est dirigé de A vers B. Avec la convention générateur, on a
une fem négative : [pic]. D'où l'équation électrique :
[pic]. Le bilan de puissances donne : [pic], [pic].
On a maintenant [pic] (décharge) d'où : [pic]. Le bilan a la même forme, le
système est toujours isolé, on n'a un apport d'énergie électrique qu'à t =
0 seulement.
En dérivant l'équation électrique : [pic], on élimine [pic], & on obtient :
[pic] & l'équation est inchangée, mais pas les conditions initiales.
A t = 0, q = Qo, & l'équation électrique devient : [pic].
L'équation mécanique donne : [pic]. On intègre :
[pic]. Avec la condition initiale, on obtient : [pic]. Exo n°2 :
[pic]
1. Cas de Lorentz : [pic],'porté par NM, orienté de N vers M, comme la fem
induite e & le courant induit i (cf figure). Alors :
[pic]
[pic], donc on a : [pic]. 2. La figure donne la direction & le sens du vecteur élémentaire [pic]. En
module : [pic]. On en déduit son moment par rapport à l'axe Oz : [pic]. En
module, [pic] & on intègre :
[pic]
On en déduit que K = K' (obligatoire ! traduit la conversion intégrale de
puissance sur le transducteur). 3.1. Fem induite e' : tous les conducteurs portent la même fem induite e en
parallèle, donc la fem équivalente à l'ensemble de N fem e en parallèle
vaut e' = e. 3.2. Couple résultant ( ' : la source de tension étant la même, le courant
I est partagé entre les N conducteurs, en parallèle, donc parcourus par le
courant [pic], donc chacun d'eux est soumis au couple [pic]. Tous les
couples (1 sur les conducteurs agissent dans le même sens, d'où le couple
résultant [pic].
[pic] 4. La machine est évidemment un moteur ! Le moteur comprend N résistances r
en parallèle, donc la résistance équivalente vaut : [pic]. Le générateur
réel (E, R) alimente le récepteur [pic] selon le schéma ci-contre. On en
déduit l'équation électrique : [pic], avec [pic]. 5. Bilan de puissances : on forme les combinaisons (E).I & (M).(, ce qui
donne :
[pic] & [pic], & on élimine le terme de couplage KI(, ce qui conduit à la
forme standard du bilan de puissances : [pic], où la puissance fournie en
régime permanent vaut EI, la puissance dissipée dans les pertes vaut [pic],
& le système stocke de l'énergie cinétique de rotation : [pic].
6. On élimine le courant I entre les équations (E) & (M) : [pic], soit
aussi :
[pic], avec [pic] & [pic]. En intégrant, compte tenu de la condition
initiale [pic] (machine à l'arrêt), on obtient : [pic]. L'équation
mécanique donne alors :
[pic]. On vérifie que pour t = 0, l'équation électrique donne [pic]. Pour
[pic] & l'équation électrique donne [pic]. Exo n°3 :
1. Pour chacun des solénoïdes, le champ magnétique créé au point O est
dirigé suivant l'axe, & vaut :
[pic], où ( est une constante ne dépendant que des paramètres géométriques
du solénoïde. Le champ résultant vaut donc : [pic]. On associe alors à
chaque vecteur plan un nombre complexe, soit : [pic], & on utilise les
formules d'Euler pour représenter les sinus, ce qui donne :
[pic]
On sépare les contributions en [pic] & en [pic], ce qui donne :
[pic]. Dans le premier crochet, on reconnaît la somme des racines cubiques
de l'unité, qui vaut zéro, d'où : [pic]. Il en résulte que le module du
champ est constant : [pic], & que l'argument du nombre complexe associé est
une fonction affine du temps : on a affaire à un champ tournant autour du
point O à la vitesse angulaire constante ( (qui est celle du système de
courants triphasés) dans le sens trigonométrique. 2. Comme le champ magnétique créé tourne, l'angle entre sa direction &
celle de la normale à la bobine dépend du temps, donc son cosinus & le flux
aussi, d'où production d'une fem induite & d'un courant induit, donc de
forces de Laplace qui auront un couple moteur entraînant la bobine dans un
mouvement de rotation.
[pic] 3. D'après la figure, on déduit l'angle [pic] à un instant t quelconque :
[pic], & donc le flux à travers la bobine vaut : [pic] car le champ
magnétique est supposé constant sur la bobine de faibles dimensions. On en
déduit la fem induite : [pic], où l'on a posé :
[pic]. On constate que la fem induite s'annule si [pic] (pas de mouvement
relatif, donc pas de phénomènes d'induction), d'où le nom de moteur
asynchrone. On a une fem alternative, donc on se trouve en régime
sinusoïdal forcé, & on utilise les notations complexes : [pic], & de même :
[pic]. La bobine étant un circuit R-L, on a :
[pic], car ici l'on a : [pic], d'où : [pic], d'où l'on déduit que :
[pic], & [pic] car la bobine est un circuit inductif. Il en résulte que :
[pic].
4. La bobine étant un petit circuit plongé dans un champ magnétique
uniforme peut être assimilée à un dipôle magnétique, donc soumise au
couple : [pic], où [pic]est le moment magnétique de la bobine. En module,
on a donc : [pic], soit en définitive :
[pic]. Par analogie avec la définition de la puissance active : [pic], on
en déduit la valeur moyenne du couple : [pic], avec [pic], d'où :
[pic]. 5. On fait apparaître les grandeurs [pic] & [pic] : [pic].
[pic]
On a posé : [pic]. On calcule la dérivée : [pic]. Donc :
Si [pic] (moteur à l'arrêt) :
[pic] avec [pic] comme il se doit pour un rotor bobiné inductif ;
Si [pic] (synchronisme, le moteur décroche) : [pic]. La dérivée vaut :
[pic] ;
Si [pic]alors [pic], le couple est maximal & vaut : [pic], valeur
indépendante de R. D'où la courbe. Si on diminue le facteur de qualité : la
tangente à l'origine s'abaisse, le maximum du couple se déplace vers la
droite, en conservant la même valeur.
La puissance est donnée par : [pic]. Pour un bon facteur de qualité, le
couple n'est important qu'autour de la valeur gm, alors [pic].
Calcul rigoureux : on considère la fonction [pic] qui s'annule en g = 0 & g
= 1, donc il existe un maximum entre les deux. On dérive :
[pic], soit :
[pic] si [pic] si l'on a la condition Q2 >> 1. 6. En prenant g comme variable : [pic]. La quantité (f représente le
frottement statique (obtenu à l'arrêt, pour g = 1). La quantité [pic]
représente le frottement dynamique (attention ! tous les ( n'ont pas la
même dimension !). On discute sur la courbe suivante :
[pic]
Le système démarre seul si, à l'arrêt, donc pour g = 1, on a : [pic], ce
qui est réalisé pour Q2, mais pas pour Q1.
Pour faciliter le démarrage : il faut augmenter le couple moteur à l'arrêt,
donc augmenter la quantité [pic], donc diminuer le facteur de qualité
[pic]. La façon la plus simple consiste à augmenter R par adjonction d'un
rhéostat de démarrage, ce qui déplace la courbe vers la droite sans
modifier les valeurs extrémales du couple moteur .
En régime permanent : le théorème du moment cinétique donne : [pic], & donc
en module :
[pic] & on a deux points de fonctionnement P1 & P2 correspondant à
l'intersection des courbes. Discussion de la stabilité :
Au point P1 : si le moteur accélère, donc si g diminue, le couple résistant
l'emporte & on retourne en P1 ; si le moteur ralentit, donc si g augmente,
le couple moteur l'emporte & on retourne en P1, qui est donc stable ;
Au point P2 : si le moteur accélère, donc si g diminue, le couple moteur
l'emporte & on s'écarte du point P2 ; si le moteur ralentit, donc si g
augmente, le couple résistant l'emporte & on s'écarte de P2, qui est donc
instable ;
La vitesse limite correspond donc à la limite entre ces deux types de
fonctionnement, donc au sommet de la courbe, donc [pic], & la vitesse
limite est donc (. Exo n°4 :
[pic]
1. Le câble coaxial présente la symétrie cylindrique forte, donc on calcule
le champ magnétique [pic]par le théorème de Gauss. On choisit des
coordonnées cylindriques [pic]. Il y a double invariance par translation le
long de Oz, & par rotation autour de Oz, d'où : [pic], donc r est seule
variable. Tout plan contenant Oz est plan de symétrie, donc on a : [pic].
Les l