TD5

TD5 : METHODES D'ESTIMATION



Exercice 1: On étudie la caractéristique X d'une population, que l'on sait
être de loi normale [pic]. Afin d'estimer les paramètres de cette loi, on
fait un sondage de taille n. Soit [pic]l'échantillon aléatoire associé.

1. On veut estimer le paramètre m. Déterminer l'estimateur du maximum de
vraisemblance [pic]de m et étudier ses propriétés. Le fait que
[pic]soit ou non connu modifie-t-il le résultat ?

2. On suppose m connu et on veut estimer [pic]. Déterminer l'estimateur
du maximum de vraisemblance [pic]de [pic]et étudier ses propriétés.
Calculer la borne FDCR relative à ce paramètre. Conclusion ?

3. En déduire un estimateur [pic] de [pic]. Cet estimateur peut-il être
sans biais ?

4. Dans le cas où m est inconnu, donner un estimateur [pic]de [pic] et
étudier ses propriétés.

Exercice 2 : Soit [pic]un échantillon aléatoire issu de la loi X à

[pic]

Exercice 3 :

[pic]

Exercice 4 : On étudie la caractéristique X d'une population, que l'on sait
être de loi uniforme sur [0, [pic][, [pic]>0 inconnu. Afin d'estimer [pic],
on fait un sondage de taille n. Soit [pic] l'échantillon aléatoire associé.


1. Calculer l'estimateur des moments [pic]de [pic]. Est-il sans biais ?
convergent ? calculer sa variance et donner sa loi limite.

2. Construire l'estimateur du maximum de vraisemblance de [pic]. En
déduire un estimateur sans biais [pic] de [pic]. Calculer sa variance
et la comparer à la quantité [pic]. Commenter le résultat. [pic] est-
il convergent ? Donner sa loi limite.

3. Entre [pic] et [pic], quel estimateur choisiriez-vous pour estimer
[pic]?

Exercice 5 : Soit [pic]un échantillon aléatoire issu de la loi X de
densité : [pic]

1. Déterminer A en fonction de [pic].

2. Déterminer l'estimateur des moments [pic]de [pic]. Donner le signe de
son biais éventuel. Est-il convergent ?

3. Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance [pic]de [pic]. Est-
il sans biais ? convergent ? efficace ?

4. Etudier sa loi limite.


Exercice 6 : On veut estimer les paramètres [pic] et [pic] d'une loi de
poisson de paramètre [pic] à partir d'un échantillon [pic]issu de cette
loi.


1. Estimation de [pic] :


a. En utilisant le théorème sur l'efficacité, trouver une
statistique exhaustive [pic]et un estimateur efficace [pic]
de[pic]. Montrer qu'il coïncide avec l'estimateur des moments
et celui du maximum de vraisemblance de [pic]. Donner la loi
limite de[pic].


b. Soit [pic]. Justifier l'utilisation d'une telle statistique
pour estimer ?. Cet estimateur est-il-biaisé ?


c. Sans effectuer aucun calcul supplémentaire, comparer les deux
estimateurs [pic]et [pic].


2. Estimation de [pic] :

a. Interpréter [pic]comme la probabilité d'un évènement relatif
à la variable aléatoire[pic].

b. Soit la variable aléatoire Y valant 1 si [pic] et 0 sinon.
Donner la loi de Y, son espérance et sa variance. Que pensez-
vous de Y comme estimateur de[pic]?

c. Améliorez Y en utilisant [pic]. On appelle [pic]l'estimateur
ainsi créé.

d. En utilisant 1), proposer un estimateur naïf [pic] de[pic].
En exprimant la vraisemblance de l'échantillon relativement
au paramètre[pic], montrer que [pic]est l'EMV de [pic].

e. Comparez [pic]et [pic].