CENTRE - MOMENT - MATRICE D'INERTIE

CENTRE - MOMENT - MATRICE D'INERTIE L'opérateur d'inertie sert à caractériser la répartition de masse d'un
solide.
Les notions de masse et de centre d'inertie ont été vues en début d'année
(chap : RDM) I - Principe de conservation de la masse : Un système matériel ? vérifie le principe de conservation de la masse, si
la masse de ? reste constante au cours du temps. Notion de masse :
Cas particulier : II - Moment d'inertie d'un solide : II-1 : définition : Le moment d'inertie d'un solide S de masse m par
rapport au point A : II-2 : expression analytique des moments d'inertie :
De façon générale, un moment d'inertie d'un solide S par rapport à un
élément géométrique (point, droite ou plan) s'exprime par l'intégrale sur S
d'une distance au carré affectée de la masse dm. La distance étant celle
entre l'élément géométrique et le point courant M parcourant le solide S.
Ainsi, si M(x,y,z) est un point courant du repère orthonormé [pic], - On appelle moment d'inertie par rapport aux plans : w Plan yOz : A' = IyOz
w Plan xOz : B' = IxOz
w Plan xOy : C' = IxOy
- On appelle moment d'inertie par rapport aux axes : w Axe Ox : A = Iox
w Axe Oy : B = Ioy
w Axe Oz : C = Ioz = - On appelle moment d'inertie par rapport à un point O : w IO = IO = A' + B' + C' = somme des moments d'inertie par rapport aux plans. IO = [pic](A + B + C) = demi somme des moments d'inertie par rapport aux
axes. Nota : Tous les moments d'inertie sont des quantités positives exprimées en
kg.m²
Ils seront donc tous calculés en fonction de la masse du solide et d'une
distance au carré.(m.d²)
III - Produit d'inertie d'un solide : On appelle produit d'inertie d'un solide par rapport aux plans de
coordonnées associés deux à deux, les quantités algébriques suivantes : - Par rapport aux axes Oy et Oz : w D = Ioyz = - Par rapport aux axes Ox et Oz : w E = Ioxz = - Par rapport aux axes Ox et Oy : w F = Ioxy = Nota : Les produits d'inertie sont des quantités de signe quelconque
exprimés en kg.m²
Ils seront donc tous calculés en fonction de la masse du solide et d'un
produit de deux distances. (m.a.b) IV - Théorème de Huygens : Soit le centre de gravité du solide S, G(a, b, c) dans R , soit un point
Mi(xi, yi, zi) dans R. [pic]
- Cas des moments d'inertie par rapport aux axes :
- Cas des produits d'inertie par rapport aux axes :
V - Matrice d'inertie :
La notion d'opérateur d'inertie et la matrice qui lui est associée,
permettent de définir complètement un solide du point de vue inertiel.
Soient un solide S de masse m et O un point de ce solide.
L'opérateur d'inertie [pic] est l'opérateur linéaire qui, a tout vecteur
[pic], associe le vecteur : [pic].
L'opérateur d'inertie étant linéaire, il est représentable par une matrice.
Si [pic]est une base liée au solide S, alors la matrice d'inertie est
construite (en colonne). V-1 : Notation [pic] V-2 : Cas général
Si on pose [pic], La matrice d'inertie du solide S calculé au point O
relativement à la base [pic] s'écrit : On peut donc maintenant exprimer l'opérateur d'inertie vectoriellement ou
matriciellement.
[pic] ou [pic] V-3 : Cas d'un solide complexe composé de solides élémentaires
Il peut être intéressant dans certains cas de faire une partition d'un
solide en solides élémentaires dont les matrices d'inertie sont simples à
calculer ou connues.
V-4 : Cas de transfert par Huygens en M :
Dans la base [pic] et en posant[pic], les matrices d'inertie sont alors
liées par :
V-5 : Relations entre les différents moments d'inertie (Méthode dite de
« Seznec ») [pic]
V-6 : Propriétés de la matrice d'inertie:
o Plan de symétrie
. Si le plan [pic] est un plan de symétrie matérielle, alors les deux
produits d'inertie D et E sont nuls.
. Si le plan [pic] est un plan de symétrie matérielle, alors les deux
produits d'inertie F et E sont nuls.
. Si le plan [pic] est un plan de symétrie matérielle, alors les deux
produits d'inertie D et F sont nuls.
o Si deux plans parmi les trois[pic], [pic] et [pic] sont des plans de
symétrie matérielle alors les trois produits d'inertie D,E et F sont
nuls.
o Axe de symétrie
. Si [pic] est un axe de révolution matérielle pour le solide S alors
les moments d'inertie A et B par rapport aux axes [pic] et [pic]sont
égaux et les trois produits d'inertie sont nuls. VI - Trucs et astuces :
Avant d'entamer un calcul d'inertie, il est primordial de réfléchir afin
d'être efficace car les calculs peuvent devenir longs et fastidieux.
Pour déterminer une matrice d'inertie, adoptez la méthode suivante :
. Rechercher les éléments de symétrie matérielle (1-symétriez centrale,
2-symétrie axiale,3- symétrie plane)
. Simplifier la forme générale de la matrice
. Déterminer les moments d'inertie par rapport aux éléments de symétrie
matérielle
. Utiliser la méthode de « composition-décomposition » pour décomposer
A, B et C. VIi - Exercice d'application :
Calculer la matrice d'inertie d'un cylindre de rayon R de masse M et de
hauteur H en son centre de gravité puis en O (origine du repère) par deux
méthodes différentes.
VIII - Matrices d'inertie de solides élémentaires : (tous les solides sont
homogènes) [pic]