em lyon 2005 option économique : corrigé rapide - Baudrand

e m lyon 2005 option économique : corrigé rapide
exercice 1 1. Par définition, (I, J, K) est une famille génératrice de E. Or cette
famille est libre, car xI + yJ +zK = 0 implique x = y = z = 0. Donc (I,
J, K) est une base de E, donc E est de dimension 3.
2. J2 = K ; JK = KJ = K2 = 0.
3. a. I et J commutent, on peut appliquer la formule du binôme :
[pic]
En effet, d'après 2, J3 = J2J = KJ = 0, et donc Jk = 0 pour tout k ( 3.
J0 = I, J1 = J, J2 = K, on obtient bien :
[pic]
On pouvait faire aussi un raisonnement par récurrence.
b. L est inversible car c'est une matrice triangulaire sans zéros sur la
diagonale.
La propriété à établir est acquise pour n entier positif ou nul, d'après 3.
a. Soit donc n négatif. Alors -n est positif, et on peut écrire, toujours
d'après 3.a :
[pic]
On a par conséquent :
[pic]
Ceci prouve que L-n est inversible, d'inverse I + nJ + n(n - 1)/2 K. Or
l'énoncé nous "rappelle" fort opportunément que pour une matrice inversible
M, M-k = (Mk)-1. Ici, L est inversible, donc L-n = (Ln)-1, et donc, en
prenant les inverses :
[pic]
La propriété à établir est donc vraie pour n négatif, elle donc vraie pour
tout entier relatif n.
c. L = I + J, donc J = L - I.
K = J2 = (L - I)2 = I - 2L + L2 (formule du binôme, L et -I commutent). Il
vient :
[pic]
Ça marche avec n = 0, n = 1, n = 2, ce qui est plutôt bon signe...
4. Le but des concepteurs est-il de décourager définitivement les candidats
(et leurs professeurs) de la méthode du pivot ?
Sur la matrice A - ?I, les manipulations L1 ( L3, puis L2 ( 2L2 - L1, L3 (
2L3 + ?L1 conduisent à la matrice
[pic]
La manipulation L3 ( L3 - (-? + 2)L2 fournit alors
[pic]
?2 + ? + 1 n'est jamais nul (discriminant négatif), on obtient donc, en
explicitant le système d'équations :
[pic]
Si ? = 1, le système a des solutions non nulles, donc 1 est valeur propres.
Si ? ( 1, on obtient x = y = z = 0. Donc 1 est l'unique valeur propre de A.
Si f était diagonalisable avec 1 pour seule valeur propre, on aurait A =
PIP-1 = I. Or A ( I, donc A n'est pas diagonalisable.
5. a. La matrice f - e dans la base canonique est la matrice
[pic]
[pic]
[pic]
xu + yv + zw = 0 ( x = y = z = 0. La famille (u, v, w) est donc libre.
Comme R3 est de dimension 3, il en résulte que (u, v, w) est une base de
R3.
b. Il faut calculer f(u), f(v), f(w). Pour calculer f(u), le plus simple
est de multiplier la matrice de f dans la base canonique par la matrice de
u dans cette même base, on trouve f(u) = ...u. Pour f(v) et f(w), on peut
faire de même, on peut aussi écrire
v = (f - e)(w), donc v = f(w) - w, donc f(w) = v + w.
De même f(v) = u + v.
On obtient donc la matrice de f dans la base (u, v, w). Il s'agit de la
matrice ... L !
c. L est inversible d'après 3. b, et d'après 3. c , on a, pour tout entier
relatif n :
[pic]
(Tout le monde sait, bien entendu, que f n désigne l'endomorphisme f o f o
... o f si n est positif, etc...) exercice 2
1. sur ]0, +([, f est strictement décroissante, sa limite à droite en 0 est
1 sa limite en +( est 0.
2. f est positive ou nulle sur R, continue sur ]0, +([ (quotient de deux
fonctions continues avec le dénominateur qui ne s'annule pas) et sur ]-(,
0[ (fonction nulle). Enfin :
[pic]
Donc f est une densité de probabilité.
3. C'est fait :
[pic]
4.
[pic]
5. a.
[pic]
b. Avec 0 < u < v :
[pic]
car on ajoute une intégrale négative (x - u > x - v et f > 0). On obtient
donc
[pic]
Cette intégrale est strictement positive car x + u < x + v et f > 0 (faut-
il établir en détail cette stricte positivité ?), donc ?x est strictement
croissante sur [0, + ([. On aurait pu établir ce résultat de manière plus
simple en écrivant
[pic]
avec la même difficulté quant à l'inégalité stricte.
c. ?x est continue et strictement croissante sur [0, +([, ?x(0) = 0 et lim
u(+( ?x(u) = 1, donc ?x réalise une bijection de [0, +([ sur [0, 1[. Le
nombre 1/2 appartient à l'intervalle [0, 1[, donc l'équation ?x(u) = 1/2
admet une solution unique dans [0, +([.
Oui, U(x) est l'unique solution de l'équation ?x(u) = 1/2...
6. a. Pour 0 ( x