exo_fiabilite01m

|EXERCICE N° 2 | (11 points) |
La société ECOLUX vend des panneaux solaires de 2 types (A ou B).
On suppose que la variable aléatoire XA qui, à tout panneau solaire
de type A, choisi au hasard, associe la durée de vie exprimée en mois, suit
la loi exponentielle de paramètre 0,0125.
On suppose que la variable aléatoire XB qui, à tout panneau solaire de
type B, choisi au hasard, associe la durée de vie exprimée en mois, suit la
loi exponentielle de paramètre 0,01.
On suppose XA et XB indépendantes.
Vous avez acheté un panneau A et un panneau B.
1) Calculer la durée de vie moyenne d'un panneau de type A, et celle d'un
panneau de type B. 2) Quelle est la probabilité pour qu'au bout de 8 ans (c'est-à-dire 96
mois) les deux panneaux fonctionnent encore ?
(On donnera la valeur décimale arrondie, à[pic]du résultat).
3) ECOLUX déclare dans sa publicité que le rendement (en %) de ses
panneaux de type A est de 60 %. Rappel : Si la variable aléatoire qui, à tout panneau de type A choisi
au hasard, associe le rendement (en %) a pour espérance mathématique m et
pour écart type (, alors on considère que la variable aléatoire Z qui, à
tout échantillon aléatoire non exhaustif de n panneaux (avec
n > 30), associe le rendement moyen, suit la loi normale d'espérance m
et d'écart type [pic].
Une statistique effectuée sur un échantillon aléatoire non exhaustif de
37 panneaux de
type A a donné un rendement moyen (en %) de 57 avec un écart type de
12.
(La valeur de la variable Z pour cet échantillon est donc de 57).
a) Donner une estimation ponctuelle de ( à 10-2 près. On utilisera cette
approximation dans la question suivante.
b) Construire et effectuer un test d'hypothèse au niveau de signification
de 5 %, en prenant pour :
- hypothèse H0 : m = 60 ;
- hypothèse H1 : m ( 60.
Conclure.
Correction | |1) |La durée de vie moyenne d' un panneau de type A est [pic]| |
|Exercice| | |1 |
|II | |Pour un panneau de type B, on trouve [pic] | |
| | | |1 |
| |2) |Les deux variables étant indépendantes : | |
| | |la probabilité pour qu'au bout de 96 mois, les deux | |
| | |panneaux fonctionnent encore est : | |
| | |[pic][pic][pic] |3 |
| |3)a) |L'écart type de l'échantillon étant égal à 12, on estime | |
| | |celui de la variable « rendement moyen » [pic] à [pic], |0,5 |
| | |avec [pic]estimé à : [pic] | |
| | |On trouve : [pic] | |
| | |[pic]. |1 |
| | | | |
| | | | |
| | | |0,5 |
| |3)b) |[pic]. | |
| | |On cherche l'intervalle [a ; b] tel que : | |
| | |[pic] | |
| | | | |
| | |Enonçons la règle de décision : on accepte l'hypothèse | |
| | |[pic]si et seulement si la moyenne de l'échantillon est |1 |
| | |comprise dans l'intervalle [56,08 ; 63,92]. On rejette | |
| | |l'hypothèse [pic]. | |
| | |Test d'hypothèse : le rendement moyen de l'échantillon | |
| | |prélevé appartient à l'intervalle [pic], on admet | |
| | |l'hypothèse [pic]. | |
| | | | |
| | |La société ECOLUX est fondée pour affirmer que le | |
| | |rendement de ses panneaux de type A est en pourcentage de|2 |
| | |60 %. | |
| | | | |
| | | | |
| | | |1 |