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Activité 1 Trouver des diviseurs communs à deux nombres Objectif 1
A. Liste des diviseurs d'un nombre
Dans son cahier, Marie recherche tous les diviseurs de 54.
1. 54 est-il divisible par 2 ? Pourquoi ?
2. 54 est-il divisible par 5 ? Pourquoi ?
Certaines lignes du cahier de Marie peuvent être complétées avec des
nombres entiers.
3. Aider Marie à finir son travail.
4. En déduire la liste des diviseurs de 54.
B. Diviseurs communs à deux nombres
5. Trouver tous les diviseurs de 36. Combien y en a-t-il ?
6. En utilisant la partie A. de l'activité, trouver les diviseurs communs
à 54 et 36.
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Activité 2 Jouer au jeu de Juniper Green Objectif 1 Voici un jeu qui se joue à deux sur une grille de 20, 50 ou 100 nombres.
Les règles sont très simples :
- le premier joueur choisit un nombre ;
- à tour de rôle, chaque joueur choisit un nombre parmi les multiples ou
les diviseurs du nombre choisi précédemment par son adversaire (un nombre
ne peut être joué qu'une seule fois).
Un joueur est déclaré gagnant quand son adversaire ne peut plus jouer.
Voici un exemple de début de partie : [pic] 1. Dans la partie ci-dessus, quels nombres Inès peut-elle cocher au tour
suivant ?
2. a. Faire plusieurs parties avec un(e) camarade en essayant de trouver
une stratégie gagnante.
b. Quelle stratégie permet au joueur débutant la partie d'être certain
de gagner ?
c. Cette stratégie est basée sur l'utilisation de certains nombres
particuliers. Lesquels ?
d. Combien de diviseurs ces nombres-là ont-ils ? Y en a-t-il plusieurs
dans la grille ?
3. a. Donner la liste des nombres premiers inférieurs à 20.
b. Expliquer pourquoi le nombre 1 n'est pas premier.
4. Pour éviter qu'un joueur puisse utiliser la stratégie gagnante vue à la
question 2. b., on modifie la première règle : le premier joueur
choisit un nombre pair.
Faire plusieurs parties avec un(e) camarade ou bien seul(e) en essayant
de faire la plus longue partie possible.
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Activité 3 Trouver la liste des nombres premiers : le crible d'Érathostène
Objectif 1 Un nombre premier est un nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1
et lui-même.
Cette activité met en ?uvre un algorithme appelé « crible d'Érathostène »
permettant de trouver tous les nombres premiers inférieurs à 100.
1. Dans une grille, écrire tous les entiers de 1 à 100. [pic] 2. a. Expliquer pourquoi le nombre 1 n'est pas premier, puis le barrer
dans la grille.
b. Le nombre 2 ne possède aucun diviseur autre que 1 et lui-même. 2 est
donc un nombre premier. Entourer le nombre 2.
c. Barrer tous les multiples de 2, qui ne sont donc pas des nombres
premiers.
3. a. Le plus petit nombre non barré est 3. 3 n'a donc pas de diviseur
autre que 1 et lui-même. 3 est donc un nombre premier. Entourer le
nombre 3.
b. Barrer tous les multiples de 3, qui ne sont donc pas des nombres
premiers.
4. a. Entourer le plus petit nombre non barré et barrer tous ses
multiples.
b. Poursuivre de la même façon jusqu'à ce que le plus petit nombre non
barré soit supérieur à 10. Tous les nombres non barrés dans la grille
sont les nombres qui n'ont pas d'autre diviseur que 1 et eux-mêmes. On
obtient la liste des nombres premiers inférieurs à 100. Activité 4 Décomposer en facteurs premiers et rendre une fraction
irréductible Objectif 2 1. Simplifier les fractions suivantes en utilisant les critères de
divisibilité classiques.
a. [pic] b. [pic] c. [pic] d. [pic]
2. 600 est divisible par 2. On peut écrire 600 comme le produit de deux
facteurs : 600 = 2 × 300.
a. 300 est aussi divisible par 2. On peut donc aussi écrire 300 comme
un produit de deux facteurs. Recopier et compléter l'égalité : 600 = 2
× 2 × ...
b. Poursuivre le processus en cherchant à décomposer les nouveaux
facteurs obtenus en produit de deux facteurs dont au moins un est un
nombre premier (2, 3, 5...) et vérifier que l'on obtient : 600 = 2 × 2
× 2 × 3 × 5 × 5, c'est-à-dire 23 × 3 × 52.
3. Décomposer de la même façon le nombre 840 en produit de facteurs
premiers.
4. En déduire une simplification de la fraction [pic].