Bac maths S 1997 - centres étrangers - Descartes et les ...

Bac S 1997 - CENTRES ETRANGERS Exercice commun : probabilités - enseignement obligatoire et de
spécialité : complexes - problème : fonction exponentielle. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word :
http://www.debart.fr/doc/bac_1997/bac_s_centres_etrangers_1997.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 1997
Epreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE L'utilisation d'une calculatrice est autorisée
Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet. Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5. EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats On dispose de deux urnes UMACROBUTTON HtmlDirect 1MACROBUTTON HtmlDirect et UMACROBUTTON
HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect
contenant des boules indiscernables au toucher. UMACROBUTTON HtmlDirect
1MACROBUTTON HtmlDirect contient n
boules blanches et 3 boules noires (n est un entier supérieur ou égal à 1).
UMACROBUTTON HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect
contient 2 boules blanches et 1 boule noire.
On tire au hasard une boule de UMACROBUTTON HtmlDirect 1MACROBUTTON HtmlDirect et on la met dans
UMACROBUTTON HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect
, puis on tire au hasard une boule de UMACROBUTTON
HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect
et on la met dans UMACROBUTTON HtmlDirect 1MACROBUTTON
HtmlDirect ; l'ensemble de ces opérations constitue
une épreuve. 1. On considère l'événement A : « après l'épreuve, les urnes se retrouvent
chacune dans leur configuration de départ ».
a) Montrer que la probabilité p(A) de l'événement A peut s'écrire :
p(A) = [pic] (0,5 point)
b) Déterminer la limite de p(A) lorsque n tend vers + ?. (0,5 point) 2. On considère l'événement B : « après l'épreuve, l'urne UMACROBUTTON
HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect
contient une seule boule blanche ».
Vérifier que la probabilité p(B) de l'événement B peut s'écrire
p(B) = [pic] (0,5 point) 3. Un joueur mise 20 francs et effectue une épreuve. À l'issue de cette
épreuve, on compte les boules blanches contenues dans UMACROBUTTON
HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect .
- Si UMACROBUTTON HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect
contient 1 seule boule blanche, le joueur reçoit 2n
francs ;
- Si UMACROBUTTON HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect
contient 2 boules blanches, le joueur reçoit n francs
;
- Si UMACROBUTTON HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect
contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien. a) Expliquer pourquoi le joueur n'a aucun intérêt à jouer tant que n ne
dépasse pas 10.
(0,5 point)
Dans la suite, on considère n > 10 et on introduit la variable aléatoire X
qui prend pour valeurs les gains algébriques du joueur (par exemple, si,
après l'épreuve, l'urne UMACROBUTTON HtmlDirect 2MACROBUTTON HtmlDirect contient une seule boule
blanche, X = 2n - 20).
b) Déterminer la loi de probabilité de X. (1 point)
c) Calculer l'espérance mathématique de X. (0,5 point)
d) On dit que le jeu est favorable au joueur si et seulement si l'espérance
mathématique est strictement positive. Montrer qu'il en est ainsi dès que
l'urne UMACROBUTTON HtmlDirect 1MACROBUTTON HtmlDirect
contient au moins 25 boules blanches. (0,5 point)
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de
spécialité Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct (O ;
[pic],[pic]), l'unité graphique est 1 cm. On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
zMACROBUTTON HtmlDirect AMACROBUTTON HtmlDirect
= (3[pic] - 2) + i(3 + 2[pic]) ; zMACROBUTTON
HtmlDirect BMACROBUTTON HtmlDirect
= (-[pic] - 1) + i([pic] - 1) ;
zMACROBUTTON HtmlDirect CMACROBUTTON HtmlDirect
= (1 - 4[pic]) + i(- 4 -[pic]). 1. On se propose de placer les points A, B et C dans le repère (O ;
[pic],[pic]) à l'aide du compas. Pour cela on considère la rotation R de
centre O et d'angle de mesure -[pic].
a) Donner l'écriture complexe de R. (0,5 point)
b) Vérifier que R transforme le point A en le point A' d'affixe : 4 - 6i.
On admettra que R transforme les points B et C en les points B' et C'
d'affixes respectives 2 + 2i et - 2 + 8i. (0,25 point)
c) Placer les points A', B', C' puis, à l'aide du compas, les points A, B,
C. (La construction du point A sera justifiée). (0,25 + 0,5 point) 2. a) Calculer zMACROBUTTON HtmlDirect AMACROBUTTON
HtmlDirect - zMACROBUTTON HtmlDirect BMACROBUTTON HtmlDirect + zMACROBUTTON HtmlDirect
CMACROBUTTON HtmlDirect . (0,5
point)
b) En déduire que le point O est le barycentre du système de points
pondérés {(A, 1), (B, - 1), (C, 1)}. (0,25 point) 3. Soit l'ensemble C des points M du plan tels que :
[pic]
a) Vérifier que B appartient à C. (0,25 point)
b) Déterminer puis tracer l'ensemble C. (1 + 0,25 point) 4. Déterminer puis tracer l'ensemble D des points M du plan tels que :
2.[pic] (1 + 0,25 point)
EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire
Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O ;
[pic],[pic]), on donne les points A d'affixe 2i, B d'affixe 2 et I milieu
de [AB] (on prendra 2 cm pour unité graphique).
On considère la fonction f qui, à tout point M distinct de A, d'affixe z,
associe le point M' d'affixe z' telle que :
[pic] 1. a) Montrer que f admet comme points invariants le point O et un deuxième
point dont on précisera l'affixe. (0,5 point)
b) Déterminer les images par f des points B et I. (0,5 point) 2. Soit M un point quelconque distinct de A et de O.
Établir que :
[pic][pic] 3. Soit (() la médiatrice de [OA].
Montrer que les transformés par f des points de (?) appartiennent à un
cercle (C) que l'on précisera. (1 point) 4. Soit (?) le cercle de diamètre [OA], privé du point A. Montrer que les
transformés par f des points de (?) appartiennent à une droite (D) que l'on
précisera. (1 point) 5. Tracer (?), (?), (C), (D) sur une même figure. (0,5 point)
PROBLEME (11 points) commun à tous les candidats Partie A Soit la fonction f définie pour tout réel x différent de 1 par :
[pic]
On appelle ? sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère
orthonormal
(O; [pic]). 1. a) Étudier les limites de f (x) lorsque x tend vers + ?, et lorsque x
tend vers 1.
Interpréter graphiquement ces résultats. (0,5 + 0,5 point)
b) Vérifier que, pour tout x différent de 1, f (x) peut s'écrire :
[pic] (0,5 point)
En déduire [pic] (0,5 point)
2. a) Montrer que [pic] (0,5 point)
b) Étudier les variations de f. (0,5 point)
c) Montrer que f admet un minimum que l'on précisera sur l'intervalle ] - ?
; 1 [.
(0,5 point)
Partie B On considère l'équation différentielle (E) : y'' + 2y' + y = 0
où y est une fonction numérique deux fois dérivable sur R.
1. Résoudre (E). (0,75 point)
2. On considère les solutions de (E) dont la courbe représentative passe
par le point A de coordonnées [pic].
a) Montrer que ces solutions s'écrivent sous la forme : [pic]
On note alors
[pic]
où a est un nombre réel. (0,5 point)
b) Faire l'étude du sens de variation de ha selon les valeurs de a et
montrer que, pour tout réel a différent de 0,
ha admet un extrémum pour une valeur de x que l'on déterminera en fonction
de a.
(1 + 0,5 point)
c) On note Ca la courbe représentative de ha et Sa le point de Ca
correspondant à l'extrémum de ha ; vérifier que, pour tout réel a différent
de 0, Sa est un point de ?, la courbe définie dans la partie A. (0,5
point)
Partie C Sur la feuille donnée en annexe, on a représenté dans le plan muni d'un
repère orthonormal les courbes Ca pour [pic] et pour quatre autres valeurs
de a : - 2, 0, 1 et 2.
1. Sur cette feuille annexe, construire ? et ses droites asymptotes.
(0,5 point)
2. Pour chacune des courbes Ca tracées (autres que[pic]), déterminer la
valeur correspondante de a en indiquant la méthode utilisée. (0,5 point)
Partie D Dans cette partie, on considère la fonction ha obtenue pour [pic].
Soit ? un nombre réel supérieur à - 2 ; on appelle D? l'ensemble des points
du plan limité par l'