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Bacc blanc - Décembre 2006
Corrigé de l'exercice de spécialité Exercice II (5 points) (Pour les candidats qui ont choisi la spécialité
Maths). On se propose dans cet exercice d'étudier quelques propriétés des nombres
qui s'écrivent en système décimal uniquement avec le chiffre 1. Ainsi, N1
= 1, N2 = 11, N3 = 111, ...
Pour k entier strictement positif, on note Nk le nombre qui s'écrit à
l'aide de k chiffres 1,
Nk = 10k-1 + 10k-2 + ... + 10 + 1. 1. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n'apparaissant jamais dans
la décomposition d'un tel nombre Nk.
Justifier brièvement la réponse.
Les nombres 2 et 5 n'apparaissent jamais dans la décomposition d'un tel
nombre Nk puisque les nombres Nk ont tous un chiffre des unités égal à 1 et
qu'un nombre est divisible par 2 si et seulement si son chiffre des unités
est pair et qu'un nombre est divisible par 5 si et seulement si son chiffre
des unités est 0 ou 5. 2. Donner la décomposition en facteurs premiers de N3 , N4 , N5 .
N3 = 111 = 3(37 ; N4 = 1111 = 11(101 ; N5 = 11111 = 41(271. 3. On rappelle que pour tout nombre réel x et tout entier naturel n non
nul,
xn - 1 = (x - 1)(xn-1 + xn-2 + ... + x + 1).
On suppose que k n'est pas premier et que k = pq, où p et q sont
différents de 1.
a) Démontrer que Nk est divisible par Np.
Nk = 10k-1 + 10k-2 + ... + 10 + 1 = [pic] = [pic] = [pic] = [pic] =
Np.(10p(q-1)+...+1).
Il en résulte que Nk est divisible par Np . b) En déduire une condition nécessaire pour que Nk soit premier.
Cette condition est-elle suffisante ?
Pour que Nk soit premier il faut que k soit premier, sinon Nk est divisible
par un nombre Np d'près la question a).
Cette condition n'est pas suffisante, comme on le voit par le contre-
exemple de N3 où 3 est premier et N3 ne l'est pas. 4. a) Justifier en citant un théorème que 106 ( 1 (7).
En déduire que, pour tout entier m multiple de 6, 10m ( 1 (7).
Le nombre 10 est premier avec 7, le théorème de Fermat montre alors que 106
( 1 (7).
Pour tout entier m multiple de 6, m = 6m', on a: 10m ( 106m' ( (106)m' (
1m' ( 1 (7) (compatibilité des congruences avec les puissances). b) Soit r le reste de la division d'un entier m par 6; on suppose que r
( 0. Démontrer que le reste de la division de 10m par 7 est différent de 1.
On pose m = 6q+r , 0