I Equations générales de la dynamique des fluides parfaits

Dynamique des Fluides Parfaits I Equations générales de la dynamique des fluides parfaits : 2
I.1 Equations d'Euler 2
I.2 Autre forme des équations d'Euler 2
I.3 Equations de la dynamique des fluides parfaits 4
I.4 Conditions aux limites 4
II Relation de Bernoulli : 6
II.2 Etablissement de l'équation de Bernoulli. 6
II.3 Interprétation énergétique : 6
III Application du théorème de Bernoulli 9
III.1 Vase de Manotte: 9
III.2 Torpille : 9
III.3 Ventilation d'un tunnel : 10
III.4 Formule de Torricelli : 10
III.5 Pression dans une conduite : 12
III.6 Pression en un point d'arrêt, tube de Pilot : 13
III.7 Tube de Ventury : 13
III.8 Etude simplifiée du réservoir : 14
III.9 Oscillations dans un tube an U 14
IV Théorème d'Euler 16
IV.1 Théorème de la quantité de mouvement 16
IV.2 Cas particulier du régime permanent: 17
IV.3 Exemple d'applications 17 Ecrit par :
Chaplier Baptiste
De Larocque Antoine
Dedieu guillaume
Macé Amélie
Séguy Frédéric
Travers Nicolas Equations générales de la dynamique des fluides parfaits : Dans ce chapitre, nous nous limiterons aux mouvements parfaits, c'est-
à-dire sans frottement (fluides non visqueux). Nous étudierons tout
particulièrement le cas des fluides incompressibles.
1 Equations d'Euler Lorsque l'on étudie les forces qui agissent sur un élément de volume,
on distingue : . les forces de volume . les forces de pression . les forces d'inertie proportionnelles à l'accélération [pic] Ces forces satisfont l'équation :
[pic] d'où
[pic](1)
2 Autre forme des équations d'Euler Les équations de la dynamique des fluides sont souvent utilisées sous
une autre forme. On considère la trajectoire d'une particule se déplaçant à
une vitesse V, de composantes u, v, w à l'instant t, ces composantes sont
fonction de x, y, z et t.
[pic] A l'instant t+dt, on a : [pic]
d'où [pic] (2)
Les expressions de (2) sont les projections de l'expression
vectorielle :
[pic] En reliant les égalités (1) et (2), on obtient : [pic]
On suppose que les forces de volume dérivent d'un potentiel : [pic] En général, on se trouve dans le champ de pesanteur, on a : U=gh [pic]
3 Equations de la dynamique des fluides parfaits
1 Condition de continuité Conservation de la masse : [pic]
[pic]
2 Equation caractéristique du fluide A chaque fluide peut-être associé une équation de la forme [pic]. L'équation se traduit en général aux trois formes suivantes : . [pic] pour un fluide incompressible . [pic] pour un fluide légèrement incompressible . [pic] pour un gaz parfait
3 Equation complémentaire
1 Pour une transformation isotherme : Si on suppose qu'on a un fluide incompressible, on a : [pic] Si on a un gaz parfait, on a : [pic]
2 Pour une transformation adiabatique : Si on suppose qu'on a un fluide incompressible, on a : [pic] Si on a un gaz parfait, on a : [pic]
4 Conditions aux limites L'équation d'Euler associée à l'équation de continuité forme un
système de quatre équations à quatre inconnues. Nous nous intéressons dans
ce paragraphe aux conditions aux limites qui peuvent être associées à ces
équations.
1 Paroi Considérons une paroi fixe d'équation P(x,y,z)=0. La vitesse [pic]
doit être parallèle à la paroi et donc perpendiculaire à la normale à la
paroi. Cette normale étant définie par les composantes [pic] D'où la
condition aux limites s'écrit :
[pic] Considérons une paroi mobile d'équation P(x,y,z,t)=0 à l'instant t. La
condition aux limites se traduit alors par l'équation.
ou [pic]
2 Surface libre On appelle surface libre l'interface entre deux fluides. Le long de
cette surface la pression est constante et la composante normale de la
vitesse doit être continue.
[pic] Relation de Bernoulli : Les hypothèses de calculs sont les suivantes : . fluide parfait en écoulement permanent : rotationnel ou non . forces de volume dérivant d'un potentiel U : [pic] . [pic] n'est fonction que de p, ou bien [pic] est constant
1 Etablissement de l'équation de Bernoulli. Si nous restons le long d'une ligne de courant, confondue avec la
trajectoire, la première des équations, nous donne :
[pic] Qu'on peut intégrer sous la forme :
[pic] (1) Le long d'une ligne de courant, l'expression précédent est donc
constante, l'intégrale pouvant se calculer si on connaît la relation liant
[pic] et p. Entre deux points 1 et 2 de la ligne de courant on peut écrire :
[pic] Si les forces de volume se réduisent aux seules forces de gravité, on
remplacera U par gh. Si, en outre, [pic]est constant (fluide
incompressible), le calcul de l'intégrale est immédiat et on trouve soit :
[pic] (2) soit :
[pic] Telles sont les diverses expressions de l'équation dite de Daniel
Bernoulli (1738) et dont l'importance est fondamentale en mécanique des
fluides.
2 Interprétation énergétique : Pour un écoulement incompressible, écrivons l'équation (2) sous la
forme :
[pic] ou :
[pic] [pic] est l'énergie cinétique de l'unité de volume du fluide. Alors
que [pic] représente l'énergie potentielle de l'unité de volume de fluide
dans le champ de pesanteur et sous la pression p. La somme [pic]correspond donc à l'énergie mécanique totale de l'unité
de volume de fluide et l'équation de Bernoulli traduit la conservation de
cette énergie mécanique totale au cours du mouvement (permanent). Pour un
tel écoulement, le principe de la conservation de l'énergie se confond avec
l'intégrale des équations dynamiques. On doit donc pouvoir retrouver le
même résultat en étudiant directement les échanges énergétiques d'une
particule avec l'extérieur. Considérons en effet, en régime permanent, un filet de courant
infiniment étroit ABCD (voir figure). Les quantités p, [pic]et V sont
constantes dans une même section d'aire S situé à la hauteur h. pendant le
temps dt la masse de fluide contenue dans ABCD passe en A'B'C'D', mais
l'énergie mécanique contenue dans la partie commune A'B'CD n'a pas changé.
Du point de vue énergétique tout se passe comme si, pendant le temps dt, la
masse contenue dans ABB'A' passait directement en DCC'D'. Nous avons donc à exprimer :
1 La conservation de la masse : [pic] 2 La conservation de l'énergie : L'augmentation d'énergie cinétique de la masse dm est égale au travail
des forces extérieures. Ces dernières sont constituées par : . le travail des forces de pression [pic] en AB
[pic] en CD
. le travail de la pesanteur : [pic]
Nous avons donc : [pic]
Compte tenu de la conservation de la masse, il en résulte : [pic]
donc : [pic]
Remarque : L'expression [pic] représente l'énergie mécanique totale contenue dans
l'unité de volume de fluide, c'est donc le travail mécanique total que la
particule est susceptible de fournir. D'une manière générale l'énergie peut
se présenter sous différents aspects : mécanique, calorifique, électrique,
chimique, etc..., mais en ce qui concerne l'énergie mécanique, elle se
présente ici sous trois formes : énergie de position, énergie de pression
et énergie cinétique. Les deux premières formes constituant l'énergie
potentielle. Dans le cas d'un fluide pesant incompressible nous avons pour la masse
m de volume [pic] : . Comme énergie de position (énergie d'altitude) : [pic]
. Comme énergie de pression :
[pic]
Elle est égale au produit du poids du fluide par la hauteur [pic]
représentative de la pression, comme énergie cinétique : [pic]
On doit tenir compte des énergies cinétiques de rotation et de
translation. Si cette dernière existe seule, on peut l'écrire sous la
forme : [pic]
où V représente la vitesse du centre de gravité de la particule. Dans le cas d'un fluide compressible, l'énergie de pression serait
égale à : [pic] Application du théorème de Bernoulli Afin d'appliquer le théorème de Bernoulli (à un écoulement permanant
incompressible), il est nécessaire d'avoir des informations sur la forme de
l'écoulement.
1 Vase de Manotte:
1 Présentation :
2 Calcul de V(t) : Bernoulli :
Po + ?gho + (1/2).?.Vo2 = Pa + ?gha + (1/2).?.Va2
V = Va = (2.g.(L+0,5))1/2 On note que la vitesse du fluide est constante et ne dépens que de la
distance L et de la distance T. Ce-ci est vrais tan que M est supérieur à
0.
2 Torp