Courbe de Lorentz et coefficient de Gini - lycee

Terminale ES : Courbe de Lorentz et coefficient de Gini.



A. Un premier exemple :

Dans une entreprise, on a relevé la répartition des salaires mensuels entre
les différents employés. Les résultats de l'enquête sont donnés dans le
tableau suivant :

|Salaire|1124 |1561 |1969 |2149 |2257 |2365 |
|mensuel| | | | | | |
|en E | | | | | | |
|1124 |101 | | | | | |
|1561 |83 | | | | | |
|1969 |54 | | | | | |
|2149 |49 | | | | | |
|2257 |33 | | | | | |
|2365 |29 | | | | | |
|2473 |38 | | | | | |
|2977 |16 | | | | | |
|3559 |10 | | | | | |
|4060 |5 | | | | | |
| |Total : | | |Total :| | |
|salaire|nombre |fréquence|fréquence|masse |fréquences |fréquences|
| | |s |s | | |cumulées |
|mensuel|d'employés|en % |cumulées |salaria|des masses |des masses|
| | | | |le | | |
|Si |Ni |fi |xi |mi |salariales en|salariales|
| | | | | |% |yi |

2°) a) Représenter graphiquement les points de coordonnées x et y du
tableau précédent, x représentant le % des employés les plus pauvres
(pourcentage ramené à 1) et y le % de la masse salariale qui leur est
attribué (pourcentage ramené à 1). Tracer enfin la courbe polygonale
passant par ces points.
Cette courbe représentative s'appelle une courbe de Lorentz. Elle illustre
ici la répartition de la masse salariale dans l'entreprise.

b) En utilisant cette courbe indiquez quel pourcentage de la masse
salariale revient aux 20% des salariés les plus pauvres, aux 50% des
salariés les plus pauvres, aux 25% des employés les plus riches.









B. Un peu de théorie :


|[pic] |Plus la courbe de Lorentz est |
| |éloignée de la première bissectrice,|
| |plus la concentration de la grandeur|
| |étudiée est forte et la répartition |
| |inégalitaire. Cette concentration |
| |est mesurée par un indice appelé le |
| |coefficient de Gini défini par le |
| |nombre : |
| |[pic] , |
| |où l'aire de concentration est celle|
| |du domaine délimité par la courbe de|
| |Lorentz et la droite d'équation |
| |[pic]. |
| |Le coefficient de Gini est compris |
| |entre 0 et 1 : |
| |si [pic] = 0, la répartition est |
| |parfaitement égalitaire, |
| |si [pic] = 1, la répartition est |
| |parfaitement inégalitaire. |


Voici les courbes de Lorentz associées aux salaires de deux autres
entreprises :

|[pic] |[pic] |
|Entreprise 1 |Entreprise 2 |

Dans quelle entreprise la répartition des salaires est-elle la moins
inégalitaire ?


















C. Calcul du coefficient de Gini.

On appelle coefficient de Gini le nombre 2A où A est l'aire, en unités
d'aire, du domaine grisé sur la figure de la page précédente. Le
coefficient de Gini évalue le degré d'inégalité de la répartition des
salaires. Ce coefficient de Gini peut aussi être considéré comme le rapport
de l'aire de la surface grisée par l'aire du demi-carré.

Exemple 1 :
Voici en 1997, la répartition des exploitations agricoles en France, en
fonction de la surface :
|Surface (en ha) |[0;10[ |[10;35[ |[35;50[ |[50;100[ |[100;300[ |
|Effectif (en |244 |163 |71 |126 |76 |
|milliers) | | | | | |

On considèrera qu'il n'y a pas d'exploitation agricole dont la taille soit
supérieure à 300 hectares.
1) Calculer la surface totale des exploitations dont la taille est comprise
entre10 et 35 hectares (on prendra pour surface moyenne 25,5 ha).

2) Reproduire et compléter le tableau suivant (arrondir les fréquences au
dixième) :

|Surface |Effectif |Effectif |Fréquence |Surface |Surface |Fréquence |
|(ha) | |cumulé |cumulée |totale de |totale |cumulée |
| | |croissant |croissante|la classe |cumulée |croissante|
| | | | | |croissante|associée |
|[0;10[ | | | | | | |
|[10;35[ | | | | | | |
|[35;50[ | | | | | | |
|[50;100[ | | | | | | |
|[100;300[ | | | | | | |

3) Construire la courbe de Lorentz de la répartition des exploitations
agricoles précédente.

4) Calculer le coefficient de Gini correspondant à cette situation.


Exemple 2 :
Dans une entreprise employant 250 salariés, on a relevé les salaires
mensuels bruts suivants :
1525 E : 25 personnes 1800 E : 18 personnes 2756 E : 5
personnes
1575 E : 30 personnes 1875 E : 5 personnes 2825 E : 2
personnes
1625 E : 22 personnes 1930 E : 30 personnes 3100 E : 5
personnes
1700 E : 34 personnes 2005 E : 20 personnes 3550 E : 2
personnes
1740 E : 10 personnes 2200 E : 4 personnes 3700 E : 2
personnes
1782 E : 20 personnes 2584 E : 15 personnes 4200 E : 1
personne.

Calculer le coefficient de Gini d'une telle répartition après avoir
effectué un regroupement en classes suivant : [1500;1750[, [1750;2000[,
[2000;3000[ et [3000;4500[.








Exemple 3 :
La courbe ci-dessous rend compte de la concentration du revenu des ménages
en France (Insee, 1996).
[pic]

1°) a) Quel pourcentage du revenu des ménages se partagent les 40% des
ménages les plus pauvres ?
b) Sur cette courbe interpréter le point de coordonnées ( 75 ; 50 ).
c) Quelle part du total des revenus les 20% des ménages les plus
riches se partagent-ils ?

2°) a) Tracer sur le graphique précédent la courbe (C) représentative de
la fonction définie sur l'intervalle [ 0 ; 1 ] par [pic].
Expliquer pourquoi cette courbe est une bonne approche de la courbe de
Lorentz du revenu.

b) Calculer l'intégrale [pic]. En déduire le coefficient de Gini du
revenu obtenu à l'aide de la courbe (C).

3°) Dans la partie B on a vu l'exemple des répartitions des salaires deux
entreprises.
Calculer le coefficient de Gini dans chacun des deux cas sachant que :
a) Pour l'entreprise 1 la courbe de Lorentz a pour équation [pic].
b) Pour l'entreprise 2 la courbe de Lorentz a pour équation [pic].

Sources :
- Mathématiques, 1 ES, Didier, p185

- Académie de Nancy-Metz, Terminale ES, Programme 2002 ;
http://www.ac-nancy-
metz.fr/enseign/maths/m2002/actimath/classe/Activites_et_outils/lycee/actily
c
ee_pro/Terminale_ES/Analyse/Fonctions/Gini/Courbe_Lorentz_et_coefficient_Gin
i.doc

- Bac ES, la Réunion 1998