Les Mathématiques au collège - Exercices corriges

Les Mathématiques au collège.
Nouveaux programmes de Sixième et de Cinquième.



Journées Pédagogiques de Novembre 2005




Sommaire

Introduction....................................page 3

Première partie.
Informations diverses...........................page 5

Deuxième partie.
Nouveaux programmes, nouveaux contenus.
Nouvel enseignement ?.....................................page 9

Troisième partie.
Le choix d'une progression dans le cours de Géométrie
plane..........................................page 19

Quatrième partie.
L'aspect multiforme du raisonnement.........page 38

Cinquième partie.
De nouveaux nombres : les fractions..........page 72

Sixième partie.
Le calcul numérique...........................page 84


Introduction



Les réunions pédagogiques de novembre sont l'occasion d'échanges
riches et fructueux au sujet de l'enseignement des mathématiques en
général, elles sont le complément indispensable aux visites d'inspection
dans les établissements et aux réunions pédagogiques qui y sont organisées.
Outre des informations d'ordre institutionnel et des recommandations
d'ordre pédagogique, elles sont aussi l'occasion de faire des mathématiques
notamment dans le cadre de la résolution de problèmes.

Depuis 1999, les thèmes suivants ont été traités :
. 1999 : Mathématiques au collège : Nouveaux programmes
. 2000 : Mathématiques au lycée : La nouvelle Seconde
. 2001 : Mathématiques au lycée : Actualités et perspectives
. 2002 : Mathématiques au collège : Unité et cohérence.
. 2003 : Les Mathématiques du collège au lycée : Liaison
troisième seconde
. 2004 : Les Mathématiques en classe de seconde.


A la suite de chacune de ces séries de réunions pédagogiques, une
brochure a été rédigée et éditée sur le serveur de l'Académie. Ces
brochures reprennent l'ensemble de ce qui est dit lors des réunions et
contiennent en outre de nombreux travaux réalisés par les participants.


Cette année, les douze réunions organisées dans l'Académie sont
consacrées au nouveau programme de sixième qui entre en vigueur cette année
et au nouveau programme de cinquième qui entrera en vigueur à partir de
septembre 2006. Au delà de ce sujet important, il s'agit aussi de reprendre
des réflexions depuis longtemps engagées au sujet de l'enseignement des
mathématiques. Les recommandations formulées par l'inspection dans ce cadre
n'ont pas changé depuis 1999, et c'est une satisfaction de constater que
les textes officiels qui sont parus à l'occasion des nouveaux programmes
confirment et amplifient le sens même de ces recommandations.


Le public des professeurs de l'Académie a beaucoup évolué pour des
raisons évidentes depuis 1999, il est donc nécessaire de reprendre et
réaffirmer quelques points essentiels pour l'enseignement de notre
discipline qui demeure, en dépit de ce qui est dit parfois, une discipline
centrale qui tire notamment sa légitimité de son histoire.





Déroulement de la demi journée



|Titre |Durée |
|PREMIERE |Présentation, objectifs de la demi-journée.|0h10 |
|PARTIE : | | |
|Présentation| | |
|et | | |
|informations| | |
| |Informations diverses |0h20 |
| |Les Olympiades, les TPE. | |
| |Les maths en L. | |
| |Le Bac et le brevet. | |
| |Les TICE et le serveur. | |
| |Liaison suite | |
| |Les groupes de secteur. | |
| |Les diverses expériences dans l'Académie. | |
|DEUXIEME |Pourquoi des nouveaux programmes ? |0h30 |
|PARTIE |Des modifications de contenus mineures. | |
|Nouveaux |Des modifications plus profondes. | |
|programmes |Le cas du bac et celui du brevet. | |
|en collège, |Quelques extraits essentiels. | |
|quelles | | |
|incidences | | |
|sur | | |
|l'enseigneme| | |
|nt des | | |
|mathématique| | |
|s ? | | |
| |L'enseignement au jour le jour. |0h30 |
| |Les activités | |
| |Les cahiers, le cours, les devoirs. | |
| |La démonstration. | |
| |Progression et démonstrations |0h15 |
| |Sur quelques aspects de la géométrie | |
| |Sur les nombres et le calcul. | |
|TROISIEME |Questions réponses |0h30 |
|PARTIE | | |
|QUATRIEME |Travail en groupes |1h15 |
|PARTIE |Le choix d'une progression en géométrie | |
|Travail |L'aspect multiforme du raisonnement. | |
|commun | | |
|CINQUIEME |A propos des nombres |0h30 |
|PARTIE |De nouveaux nombres : les fractions. | |
| |Le calcul numérique | |

PREMIERE PARTIE

Informations



Ces réunions de novembre, désormais traditionnelles, sont l'occasion de
faire avec vous un tour d'horizon des éléments importants qui ont marqué
l'enseignement des mathématiques au cours de l'année passée et d'en faire
une analyse prospective. Ces éléments peuvent être le fait d'observations
effectuées au cours des visites d'inspection ou relever de dispositifs
académiques ou nationaux comme les textes officiels ou les examens. Les
réunions de cette année ont pour objectif d'étudier en commun les
incidences des nouveaux programmes sur l'enseignement des mathématiques au
collège.


I) Les Olympiades.

120 candidats seulement s'étaient présentés au concours en 2003, 180 en
2004, 214 en 2005, nous assistons donc à une augmentation très sensible du
nombre de candidats. Les copies ont été toutes corrigées par les membres de
la commission académique et les 6 meilleurs élèves ont été récompensés lors
d'une cérémonie présidée par Madame le Recteur le 6 juillet dernier. Nous
souhaitons bien entendu que cette embellie se poursuive, la participation à
de telles compétitions académiques est très importante pour la formation
des élèves qui seront amenés à être confrontés à des épreuves de ce type
dès le baccalauréat et au cours de leurs études supérieures. Comme l'an
passé, l'épreuve 2006 sera conçue pour être accessible à tous les élèves
des classes de premières générales ou technologiques. Le programme sera
donc constitué par le programme de mathématiques de seconde et du tronc
commun d'analyse des programmes de première. Il est même possible
d'envisager des sujets différenciés selon les séries.

II) Les mathématiques et les travaux personnels encadrés.

Les TPE sont maintenant supprimés en classe de terminale mais ils
demeurent en classe de première L, ES et S, comme un enseignement
obligatoire qui donnera lieu dès la session 2007 à une épreuve obligatoire
anticipée. Seuls les points au dessus de la moyenne seront pris en compte,
affectés du coefficient 2, comme dans le cas de feue l'épreuve facultative
de terminale.
Il est essentiel en tout cas que notre discipline soit très présente dans
les TPE. Il faut en effet montrer que les mathématiques ne sont pas
refermées sur elles-mêmes mais sont capables de s'associer, comme elles
l'ont fait tout au long de leur très longue histoire, à l'ensemble des
activités de l'esprit. Il revient, bien entendu, aux professeurs de faire
émerger dans les sujets choisis par les élèves des facettes mathématiques
qui leur échapperaient à coup sûr. Il ne s'agit pas de faire acte de
virtuosité ni d'aborder des concepts compliqués, il s'agit simplement de
donner aux mathématiques la place qui est la leur. La note de service parue
à la fin du mois de septembre rappelle d'ailleurs l'importance de conduire
des sujets modestes et bien maîtrisés du point de vue des contenus
disciplinaires.
Concernant les itinéraires de découvertes, il est tout aussi important,
quand ils existent dans les collèges, que les mathématiques y soient
présentes pour les mêmes raisons que celles qui ont été décrites plus haut.


III) Les mathématiques en filière littéraire.

1- L'enseignement de spécialité.
L'enseignement de spécialité a été mis en place en septembre 2003 en
classe de première et en septembre 2004 en classe de terminale à la place
de l'enseignement optionnel. Une conséquence importante a été
l'augmentation sensible du nombre d'élèves qui suivent cet enseignement. La
durée hebdomadaire est de 3 heures. Le programme spécifique pour cet